对称性与守恒量

约束Hamilton系统的共形不变性和守恒量研究郑明亮傅景礼(浙江理工大学理学院杭州310018）摘要：研究了约束Hamilton系统的共形不变性与新型守恒量。提出了该系统共形不变性的概念，推导出了约束Hamilton系统的运动正则方程是Lie对称性同时具有共形不变性的充要条件，并以此得到了共形因子的解析式。利用规范函数满足的Lie结构方程，导出系统相应的新型守恒量形式。最后举例说明结果的应用。关键字：约束Hamilton；共形不变性；Lie对称；共形因子；守恒量PACC:0320,02201引言：对称性理论是理论物理、工程数学、现代力学等学科中更高层次的法则[1]。对力学系统运动方程对称性的研究有助于揭示力学系统的内在特征和深层次规律，对称性理论也是积分运动方程的一个有力工具。力学系统的对称性和守恒量有着密切的关系，用对称性寻求系统守恒量的近代方法主要有：Noether对称性[2]、Lie对称性[3]和Mei对称性[4]。研究各种约束力学系统的对称性和守恒量是近代分析力学的一个主要发展方向，在现代数理科学、机电系统和土木结构工程等中都具有重要的理论意义和实际价值。在Legendre变换下，奇异Lagrange系统在过渡到相空间用Hamilton正则变量描述时,其正则变量之间存在固有约束，称之为约束Hamilton系统[5]。机械工程和数学物理上许多重要的动力系统是奇异系统或约束Hamilton系统，例如：非树形多体机器人系统动力学模型一般都可具有微分/代数方程组形式、光的横移现象和量子电动力学等。Dirac和Li研究了奇异系统Hamilton正则方程的Noether对称性与守恒量及其众多物理应用[6-7]，Zhang研究了奇异系统Hamilton正则方程的Lie对称性与守恒量[8]，Luo研究奇异系统Hamilton正则方程的Mei对称性与守恒量，并说明了Mei对称性与Noether对称性、Lie对称性之间的关系[9]。但是，关于约束Hamilton系统系统的共形不变性以及与其它各对称性的关系的研究尚未见报道，作为一种新型对称性[10-11]，对其进行研究是十分必要的。本文研究仅含第二类约束的约束Hamilton系统的共形不变性及其导致的新型守恒量。建立系统的运动微分方程，给出约束Hamilton系统共形不变性的定义，推导了时间、广义坐标和广义动量的无限小变换生成元满足的确定方程和共形因子表达式，根据规范函数满足的结构方程,求出系统相应的新型守恒量,并给出一个说明算例。2约束Hamilton系统运动方程假设力学系统的位形由n个广义坐标),...,1(nsqs来确定，系统的Lagrange函数为),(qp,tL，广义动量为),...,1(nsqLpss，设L的Hess矩阵ksqqL2的秩为nr。利用Legendre变换),(1qp,tLqpHniii，将Lagrange系统描述过渡到Hamilton系统描述时，在相空间中正则变量之间存在约束：),...,1(,0),(rnjtjqp,(1)则约束Hamiltom系统的正则方程为[12]：),...,1(,11nsQqqHpppHqsrnjsjjssrnjsjjss，(2)其中),(qp,tQQss为非势广义力，j为约束乘子。仅考虑约束(1)式为第二类约束，有）rnjijiji,...,1,;(,0,det0Φ，那么所有Lagrange乘子j可由约束的相容性条件确定成[13]：),(qp,tjj，则方程(2)可写为：),...,1(,,nsQqHppHqsssssss(3)其中rnjsjjssrnjsjjssqtpt11),(,),(qp,qp,，展开方程组(3)，令：),...,1(),,(),,(-nstBpFtAqFssssssqp,qp,(4)3共形不变性的无限小变换和共形因子设为无限小参数，ss,,0为无限小变换生成元，引入时间、广义坐标和广义动量的无限小变换：),(),,(),,(**0*qp,qp,qp,tpptqqtttssssss(5)为方便叙述，下文均采用Einstein求和约定，取无限小生成元向量和一次扩展为：ssssssssssppqqXXpqtX)()(00)0()1(0)0((6)定义1：在无限小生成元),),,),,0qp,qp,qp,tttss（（（的变换下，对于一阶微分方程sssFFF，若存在非退化矩阵ks满足：),...,2,1,(,)(1nmsFFXmmss）（(7)则称约束Hamilton系统是共形不变的，其中ks为共形因子。为了求得共形因子，需要先假设系统的微分方程在无限小变换下同时具有共形不变性和Lie对称性。命题1：对于约束Hamilton系统，该系统的共形不变性同时又是强Lie对称性的充要条件是无限小变换生成元和共形因子满足：0)()(),...,1,,...,1(0)),((0)(00)0(0)1(sssjsssjjsFsppqqrnjnstXFXqp,(8)smmsmsmssmmsmspqpq00(9)证明：(8)式的详细证明可参考文献[5]。(9)式的证明如下：,,,0000mmkmmkkkmmkmmkkkmmmmppqqtppqqtppqqt(10))()()()()()()()()0(0)0(0)1()0(0)0(0)1(ssmmsmmssssssssmmsmmssssssBXpppqqtBXpFXAXqppqqtAXqFX(11)又因为Lie对称性的确定方程(8)可表示为：)()()()()()()()()0(0)0(00)1()0(0)0(00)1(ssmmsmmssssssFsssmmsmmssssssFsBXBBpAqtBXBFXAXABpAqtAXAFXmsmmsmmssmmsmmsssmmmsmmmssFssmmsmsmmssmmsmmsssmmmsmmmssFssFqFqFFpFqBpBppAqqFXFXFpFqFFpFqAqBppAqqFXFX)()()))()())0000)1()1(0000)1()1(（（（（(12)mmsmmsmmsmsmssmmssFssFFFpqpqFXFX000)1()1((13)证毕。4共形不变性导致的新型守恒量由于约束Hamilton系统的共形不变性，可通过强Lie对称性导出相应的新型守恒量，有如下结论：命题2：对于约束Hamilton系统，如果共形不变性的无限小生成元q)p,,(q)p,,(tts,0，),(qp,ts以及规范函数),(qp,tG满足如下Lie对称性的结构方程：0))(()()(H0000GqQpHXpqsssssssssss(14)则约束Hamilton系统的共形不变性存在如下守恒量constGHpIss0(15)证明：对式(13)求导数可得：GppHppHqqHtHdtdIssssssss00][(16)由结构方程式(12)带入以及联立式(3)可得：0)()())(())((0000sssssssssssssssssqFpFqQqHpppHqdtdI(17)证毕。5算例设系统的Lagrange函数为：)(22212121qqqqqqL其中非势广义力0321QQQ。试研究该系统的共形不变性和新型守恒量。易验证这是约束Hamilton系统，系数矩阵的秩为20r，系统哈密顿函数和约束方程为：0),(,0),()(1222112221qptqptqqHqp,qp,，有约束相容条件易得到[12]：1221,-qq，将上式带入(2)、(3)、(4）可得：222111122211qpFqpFqqFqqF确定方程(8)给出无限小生成元满足：2012101110222011-----ppqq将上式可取如下无穷小生成元：221122110,,,-,1qqpp由命题可得该约束Hamilton系统共形不变的共形因子和确定方程为：21212121)1(001000011-00001-00FFFFFFFFX将无穷小生成元代入结构方程(12)和(13)可得规范函数和守恒量为：constCqqqpqpICG22211221,由此可见该系统生成元对应的Lie对称性同时又是共形不变性，也导致系统对应的守恒量。6总结语本文将由于Lagrange函数奇异性而存在的内在固有限制方程看作是约束方程，建立了约束Hamilton系统的正则方程，给出了系统共形不变性定义、共形因子的求法以及导致的新型守恒量形式。文中内容表明：Lie对称性因为无限小生成元的多解，不一定完全能够得到非奇异共形因子矩阵，基于Lie对称的共形不变性也不一定总导致守恒量，还要必须满足条件结构方程下。约束Hamilton系统的新型对称性与守恒量在现代数理科学和工程技术中占有重要地位并广为应用，值得广大科技工作者关注和深入研究。参考文献[1]赵凯华,罗蔚菌.新概念物理学教程[M],力学.北京:高等教育出版社,1995.[2]NoetherAE1918Nachr.Akad.Wiss.Math.Phys.2235[3]LutzkyM1979J.Phys.A:Math.Gen.19105[4]MeiFX2000J.BeijingInst.Technol.9120[5]李子平.约束哈密顿系统及其对称性质[M].北京:北京工业大学出版社,1999.[6]DiracPAM1964LectureonQuantumMechanics.(NewYork:Yeshi-vaUniversityPress).[7]LiZPandJiangJH2002SymmetriesinConstrainedCanonicalSystem.(Beijing:SciencePress).[8]张毅,薛纭.仅含第二类约束的约束Hamilton系统的Lie对称性[J].物理学报,2001,50(5):816-819.[9]罗绍凯.奇异系统Hamilton正则方程的Mei对称性、Noether对称性和Lie对称性[J].物理学报,2004,53(1):05-11.[10]GaliullinAS,GafarovGG,MalaishkaRP,etal.Analyt