对称性浅谈

对称性浅谈山东大学陈蒙摘要：本文主要介绍了对称性原理在理论物理学中的作用和意义。包括对称性原理影响了描述物理体系的微分方程的形式，物理方程的协变性与对称性的关系；然后介绍了物理学中很重要的一个定理：诺特定理——用来描述对称性原理和守恒定律的关系，并通过三个经典力学中的例子来进一步说明对称性与守恒律的关系；最后介绍了对称性在近代理论物理研究中的作用，包括电磁作用和弱相互作用的统一以及对称性自发破缺的希格斯机制对质量起源的解释。关键词：对称性守恒定律诺特定理对称性自发破缺引言：何为对称性？第一章对称性原理与微分方程的形式1.1Lagrange作用量形式与对称性1.2物理方程的协变性与对称性第二章对称性原理与守恒定律2.1诺特定理2.2Hamilton函数的对称性2.3时间的平移不变性与能量守恒2.4空间平移不变性与动量守恒定律2.5空间转动不变性与角动量守恒定律第三章对称性的自发破缺第四章总结引言：何为对称性？对称性是小到日常生活大到科学艺术领域都经常用到的词。对称性通常代表了我们对美的追求，无论是艺术家对建筑、绘画的美还是科学家对公式、定理的美，对称性的力量从中可见一斑。那么何为对称性？可以这样理解：如果我们对某个物体进行了某种操作，而该物体在这种操作前后没有发生变化，我们就可以说物体具有对称性。例如足球，当你转动它的时候，无论从哪个方向看，它都是一样的，我们就可以说足球具有转动对称性；再比如等边三角形，当你每次转动120°的整数倍时，它看起来会跟转动前一模一样，这也是对称性。当然，这两者的对称性是相当不同的：前者是连续的对称性，这种对称性对任意小的变换均成立；而后者是分立对称性，它有一个最小的“变换单位”，只有进行“变换单位”的整数倍的变换才能保持它的对称性。简而言之，对称性的本质就是“变化下的不变性。”那么对称性对于我们物理学研究又有什么意义？我们知道，宇宙中所有物理系统都要遵守一定的原理规则和定律，总结起来它们具有如下的特性：1)这些原理、规则和定律可用微分方程或数学公式来表达，即定律=微分方程2)定律应该具有普适性，而普适性的具体体现就是要求具有某种对称性，而对称性在很大程度上决定了微分方程的表达形式；3)微分方程的解提供了相应物理系统地状态和性质。包含了物理系统所有的物理信息。物理学家们之所以苦苦寻求对称性的原因之一，便可以从以上特点看出来。概括来说，对称性在三个方面起到重要作用：其一，对称性决定了物理方程的形式；其二，由Noether定理，对称性与物理守恒量有一种对应关系，即一种对称性确定一种守恒量；其三，对称性及其自发破缺机制对电弱相互作用的统一和大统一理论起到了重要作用下文将分别对这三个方面进行阐述。第一章对称性原理与微分方程的形式1.1Lagrange作用量与对称性Lagrange作用量是连接物理和数学的桥梁，物理定律正是通过它被转化成微分方程。同样的，对称性也是通过作用量将它自己数学化的。我们用有限维函数当作Lagrange作用量来阐述这个问题。令1:nFRR是一个有限维泛函，它可以写错一个n元函数形式1(),(,,).nnFFxxxxR（1.1）现在将（1.1）视为某个物理系统的作用量，并且希望能够确定它的具体表达形式。在逻辑和物理意义上有以下两个约束条件：（A）由（1.1）表达的定律是普适的，与它的实验地点、时间及方位无关。（B）()Fx是一个指数不超过二次的多项式（真是作用量中导数项指数不超过二次，对称性原理物理方程形式对称性守恒定律对称性及其自发破缺大统一理论及质量起源这在物理中是普遍性的条件）。约束（A）中的不同地点、时间与方向对应的就是坐标变换。我们考虑不同方向的转动变换：~,xAxA是正交矩阵（1.2）而定律的普适性就是()Fx在（1.2）的正交变换下保持形式不变。我们注意到x的模是不变的，即22222222~~~~12n12n=+=+=xxxxxxxx则不变性的函数()Fx一定取如下形式：()FFx（1.3）现在再有约束条件(B)，作用量便被唯一地确定（只差一个常数）为如下形式：22212n()(+),Fxxxx为常数（1.4）因为（1.4）的等值面是一个n-1维的球面，当你从不同角度去观察这个球面时会发现图像没有变化，即图像是对称的。这就是为什么将作用量在某种变换下的不变性称作对称性的原因。从这个例子我们也可以简单地看出对称性是如何影响微分方程的形式的。1.2物理方程的协变性与对称性其实，更一般的物理定律的对称性是体现在微分方程的协变性上面，即：如果方程的每一项属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，结果保持方程形式不变。举例来说，设在参考系下某方称具有形式FG（1.5）其中F和G都是四维矢量。在参考系变换下，有FFGG因而在新参考系中有FG，这方程形式上和原参考系中的方程（1.5）一致。这就是协变性。因此，如果表示物理规律的方程是协变的话，那么它就能满足物理规律的对称性要求。我们只要知道某方程中各个物理量的变换性质，就可以看出它是否具有协变性。下面讨论相对论理论的协变性质：在相对论的四维形式下，洛仑兹变换是满足间隔不变2222222222123123xxxctxxxct不变量如果形式上引入第四维虚数坐标：4xict则间隔不变可以写成：22221234xxxx22221234xxxx即：xxxx不变量（1.6）一般洛仑兹变换是满足间隔不变性（1.6）式的四维线性变换：=xx，为正交矩阵元(1.7)洛仑兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”，但这四维空间的第四个坐标是虚数，因此它是复四维空间，不同于实数的Euclid空间。沿x轴方向的特殊洛仑兹变换的变换矩阵为000100001000iai（1.8）其中221,1vcvc逆变换的变换矩阵为1000100001000iai在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间中，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。在洛仑兹变换下不变的物理量称为洛仑兹标量，例如间隔2dsdxdx为洛仑兹标量具有四个分量的物理量V，如果它在惯性系下与坐标有相同变换关系：=VV它就是四维矢量。例如上面的矢量(,)xxict而具有九个分量的T如果满足变换关系TT就是二阶四维张量。更高阶的张量这里不涉及了。这些物理量在洛仑兹变换下具有确定的变换性质，便都是洛仑兹变换群下的协变量。我们以四维波矢量为例介绍，来看下对称性是如何修正四维空间的波矢量的：设在参考系有一角频率为，波矢量为k的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系上观察，该电磁波的频率和传播方向都会发生改变。以和k表示上观察到的角频率和波矢量。电磁波的相位因子是,iekxt（1.9a）在另一参考系观察的相位因子是,iekxt（1.9b）我们先看相位和的关系。设参考系和的原点在时刻0tt重合。在该时刻，两参考系的原点上都观察到电磁波处于波峰，相位==0，取此事件为第一事件。在系n个周期（2/tn）后，第n个波峰通过系原点，相位为2n。去此事件为第二个事件，它在上的时空坐标为（x=0，2/tn），在上的时空坐标（x，t）可用洛仑兹变换求得，而相位同样是2n，这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而相位只是计数问题，不随参考系而变。因此，我们称电磁波的相位是对称的，它是一个不变量：不变量由(1.9)式有kxtkxt=不变量若我们另k与ic合为另一个四维矢量k，便有：112212312333kkkkxxxictxxxictkkiicc其中123kkkkic是我们得到的四维电磁波矢量，即(,)kkic，这个是我们根据电磁波相位的不变性得到的。第二章对称性与守恒定律2.1诺特定理大自然给我们展现出它的无比玄妙和神奇，但是所有这些全都是表象，真正产生这一切的根源最终都可以归结到若干个极其简单而又朴素的普适性原理当中。对称性原理便是其中之一。我们都知道，物理定律在空间平移、时间平移及转动下具有不变性——这是观测事实。或许未来的某天，人们可能会观察到破坏这三种对称性的物理事实，不过这一天还没有到来。物理学家、天文学家、地理学家们已经做过大量的实验并且留下了数量惊人的观测记录，其中无一提到上述三种对称性破缺的例子。任何旨在描述宇宙的方程必须满足这三个简单对称性的要求。变换下具有不变性意味着某些量在变换过程中没有改变——或者说守恒。所以毫不奇怪，对称性与我们所拥有的最基本、最具广泛性以及最强大的物理定律——守恒量有着某种联系。终于，在1915年，德国数学家诺特（Noether）证明了一条著名的定理：对于每个局部作用下的可微对称性，存在一个对应的守恒流。其中“对称性”一词精确一点来说是指物理定律在满足某种技术要求的一维李群作用下所满足的协变性。物理量的守恒定律通常用连续性方程表达。诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如：1.物理系统对于空间平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律；2.对于转动的不变性给出了角动量的守恒律；3.于时间平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。4.在量子场论中，和诺特定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出电荷的守恒。力学中的动量守恒角动量守恒和能量守恒定律不仅适用宏观领域也适用微观世界最基本的自然规率。我们将利用Hamilton函数的时空变换的不变性，导出动量守恒、角动量守恒和能量守恒定律，说明3个守恒定律是时空对称性的表现，从而进一步验证对称性与守恒定律的诺特定理。2.2Hamilton函数的对称性一个由n个质点组成的一个具有s个自由度的封闭物理体系，体系的Hamilton函数为1sHpqL(1,2,,)s（2.1）始终Lpq为系统的广义动量，(,,)LLqqtTV为系统的Lagrange函数，系统的动力学规律表示为Hamilton正则方程形式为HqqHpp（2.2）根据分析力学中的正则变换理论，系统在无限小时限内在相空间发生的无限小位移由下式决定GqpGpq（2.3）（2.3）式称为由母函数(,,)Gqpt所产生的无限小正则变换，此时Hamilton函数H将随之而变，若H函数不显含时间t，则变分1()sHHHqpqp或1(),sHGHGHHGqppq其中,HG为泊松括号。若,0HHG，则(,,)Gqpt为运动恒量。因此，若在以G为母函数的无限小正则变换下，系统的H函数形式不变，则G便是系统的一个运动恒量。下面我们就利用这一性质来导出力学三大守恒定律2.3时间的平移不变性与能量守恒对系统的H函数进行一无限小时间平移变换，此时H的全微商为11()(),ssdHHHHHHHHHHqpHGdtqptqppqtt（2.4）因为时间具有均匀性，所以H不显含时间t，Ht0，则,0,dHHGHdt恒量而H函数212102011()(2)()ssTHpqLqTVTTTTTVTTVq