导数中的任意性与存在性问题探究

1函数中任意性和存在性问题探究高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论1：1212minmax[,],[,],()()[()][()]xabxcdfxgxfxgx；【如图一】结论2：1212maxmin[,],[,],()()[()][()]xabxcdfxgxfxgx；【如图二】结论3：1212minmin[,],[,],()()[()][()]xabxcdfxgxfxgx；【如图三】结论4：1212maxmax[,],[,],()()[()][()]xabxcdfxgxfxgx；【如图四】结论5：1212[,],[,],()()()xabxcdfxgxfx的值域和()gx的值域交集不为空；【如图五】例题1：已知两个函数232()816,()254,[3,3],fxxxkgxxxxxkR;(1)若对[3,3]x,都有()()fxgx成立，求实数k的取值范围；(2)若[3,3]x,使得()()fxgx成立，求实数k的取值范围；(3)若对12,[3,3]xx,都有12()()fxgx成立，求实数k的取值范围；解：（1）设32()()()2312hxgxfxxxxk,（1）中的问题可转化为：[3,3]x时，()0hx恒成立，即min[()]0hx。'2()66126(2)(1)hxxxxx；当x变化时，'(),()hxhx的变化情况列表如下：x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h(x)+0－0+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为(1)7,(2)20hkhk,所以，由上表可知min[()]45hxk，故k-45≥0，得2k≥45,即k∈[45,+∞).小结：①对于闭区间I，不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]maxk,x∈I;不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]mink,x∈I.②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7,+∞).(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].由二次函数的图像和性质可得,x∈[-3,3]时,[f(x)]max=120－k.仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时,[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..例题2：(2010年山东理科22)已知函数1()ln1()afxxaxaRx;(1)当12a时，讨论()fx的单调性；（2）设2()24gxxbx，当14a时，若对1(0,2)x，2[1,2]x,使12()()fxgx，求实数b的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a=21时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；当0a21时，函数()fx在（0,1）上单调递减，在1(1,1)a上单调递增，在（1(1,)a上单调递减；（2）函数的定义域为（0，+∞），f（x）=x1－a+21xa=－221xaxax，a=41时，由f（x）=0可得x1=1,x2=3.因为a=41∈（0,21），x2=3（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x)在（0,2）上的最小值为f(1)=－21.由于“对x1∈（0,2），x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值f(1)=－21”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①当b1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b0,此时与（※）矛盾；②当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾；③当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.3解不等式8－4b≤－21，可得b≥817.综上，b的取值范围是[817,+∞).二、相关类型题：〈一〉、()afx型；形如(),()afxafx型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“()afx在xD上恒成立，则max()();afxxD()afx在x∈D上恒成立，则min()();afxxD”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1：已知二次函数2()fxaxx，若[0,1]x时，恒有|()|1fx，求实数a的取值范围.解：|()|1fx，∴211axx；即211xaxx；当0x时，不等式显然成立，∴a∈R.当01x时，由211xaxx得：221111axxxx，而min211()0xx∴0a.又∵max211()2xx，∴2,20aa，综上得a的范围是[2,0]a。〈二〉、12()()()fxfxfx型例2已知函数()2sin()25xfx，若对xR，都有12()()()fxfxfx成立，则12||xx的最小值为____.解∵对任意x∈R，不等式12()()()fxfxfx恒成立，∴12(),()fxfx分别是()fx的最小值和最大值.对于函数sinyx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.又函数()2sin()25xfx的周期为4，∴12||xx的最小值为2.〈三〉、.1212()()()22xxfxfxf型例3：(2005湖北)在222,log2,,cosyxyxyxyx这四个函数中，当1201xx时，使1212()()()22xxfxfxf恒成立的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件1212()()()22xxfxfxf的函数，4应是凸函数的性质，画草图即知2log2yx符合题意；选C〈四〉、.1212()()0fxfxxx型例4已知函数()fx定义域为[1,1]，(1)1f，若,[1,1]mn，0mn时，都有()()0fmfnmn，若2()21fxtat对所有[1,1]x，[1,1]a恒成立，求实数t取值范围.解：任取1211xx，则12121212()()()()()fxfxfxfxxxxx，由已知1212()()0fxfxxx，又120xx，∴12()()0fxfxf，即()fx在[1,1]上为增函数.∵(1)1f，∴[1,1]x，恒有()1fx；∴要使2()21fxtat对所有[1,1]x，[1,1]a恒成立，即要2211tat恒成立，故220tat恒成立，令2()2gaatt，只须(1)0g且(1)0g，解得2t或0t或2t。评注：形如不等式1212()()0fxfxxx或1212()()0fxfxxx恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.〈五〉、.()()fxgx型：例5：已知1()lg(1)2fxx，()lg(2)gxxt，若当[0,1]x时，()()fxgx)恒成立，求实数t的取值范围.解：()()fxgx在[0,1]x恒成立，即120xxt在[0,1]x恒成立12xxt在[0,1]上的最大值小于或等于零.令()12Fxxxt，'141()21xFxx，∵[0,1]x∴'()0Fx，即()Fx在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.∴()(0)10fxFt，即1t。〈六〉、12()()fxgx型5例6：已知函数32149()3,()332xcfxxxxgx，若对任意12,[2,2]xx，都有12()()fxgx，求c的范围.解：因为对任意的12,[2,2]xx，都有12()()fxgx成立，∴maxmin[()][()]fxgx，∵'2()23fxxx，令'()0fx得3,1xxx＞3或x＜-1；'()0fx得13x；∴()fx在[2,1]为增函数，在[1,2]为减函数.∵(1)3,(2)6ff，∴max[()]3,fx.∴1832c，∴24c。〈七〉、12|()()|fxfxt（t为常数）型；例7：已知函数43()2fxxx，则对任意121,[,2]2tt（12tt）都有12|()()|____fxfx恒成立，当且仅当1t=____，2t=____时取等号.解：因为12maxmin|()()||[()][()]|fxfxfxfx恒成立，由431()2,[,2]2fxxxx，易求得max327[()]()216fxf，min15[()]()216fxf，∴12|()()|2fxfx。〈八〉、1212|()()|||fxfxxx型例9：已知函数3()fxxaxb，对于12123,(0,)()3xxxx时总有1212|()()|||fxfxxx成立，求实数a的范围.01a