导数圆锥曲线

1.设f(x)＝13x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A．[－5，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－5，＋∞)D．[－5，5]答案C解析f′(x)＝x2＋2ax＋5，当f(x)在[1,3]上单调递减时，由f′1≤0，f′3≤0得a≤－3；当f(x)在[1,3]上单调递增时，f′(x)≥0恒成立，则有Δ＝4a2－4×5≤0或Δ0，－a1f′1≥0或Δ0，－a3，f′3≥0，得a∈[－5，＋∞)．综上a的取值范围为(－∞，－3]∪[－5，＋∞)，故选C.4．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为()．A．eB．－eC.1eD．－1e解析设(x0，lnx0)是曲线y＝lnx与直线y＝kx的切点，由y′＝1x知y′|x＝x0＝1x0由已知条件：lnx0x0＝1x0，解得x0＝e，k＝1e.答案C二、填空题8．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，则函数f(x)的单调增区间为________．解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋12x2，所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)·(x＋1)．令f′(x)0，即(ex＋1)(x＋1)0，解得x－1.所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．答案：(－1，＋∞)12．已知函数f(x)＝x2(x－a)．若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________；若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________．解析由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－2a3.若f(x)在(2,3)上不单调，则有2a3≠0，22a33，解得：3a92.答案(－∞，3]∪92，＋∞，3，9218.(12分)已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间.(2)函数f(x)是否为R上的单调递减函数?若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.18.解:(1)∵当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,∴f'(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令f'(x)0,即(-x2+2)ex0,∵ex0,∴-x2+20,解得-x.故函数f(x)的单调递增区间是(-).(2)若函数f(x)在R上单调递减,则f'(x)≤0对x∈R恒成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.∵ex0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.因此应有Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.14．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)0，得exa，当a≤0时，有f′(x)0在R上恒成立；当a0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]．15．已知函数f(x)＝x3－ax－1(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．解析(1)f′(x)＝3x2－a由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x23因此a≥3函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．Ll6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c，由题意可得2a＋2c＝4b，a＋c＝2b，又b＝a2－c2，所以a＋c＝2a2－c2，整理得5e2＋2e－3＝0，e＝35或e＝－1(舍去)．答案：3510．(2014·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．解析依题意，得F(p,0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以p2a2－4p2b2＝1.又因为c＝p，所以c2a2－4c2c2－a2＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即ca4－6ca2＋1＝0.所以e2＝3＋22，e＝2＋1.答案2＋113．(2014·淄博二模)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为________．解析抛物线的焦点坐标为b2，0，由题意知b2－－cc－b2＝53，c＝2b，所以c2＝4b2＝4(c2－a2)，即4a2＝3c2，所以2a＝3c，所以e＝ca＝23＝233.答案23310．(2012年东北四校模拟)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点为M，若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e＝()A.32B．2C.2D.3解析：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，因为△MAB为等腰直角三角形，所以AF＝MF.又AF＝c2a2－1b2＝b2a，所以a＋c＝b2a，即a2＋ac＝c2－a2，e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍)．答案：B11．已知A，B为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点，上顶点C(0，b)，直线l：x＝2a与x轴交于点D，与直线AC交于点P，且BP平分∠DBC，则此椭圆的离心率为()A.12B.22C.29D.23解析：直线AC的方程为x－a＋yb＝1，即bx－ay＋ab＝0，联立bx－ay＋ab＝0，x＝2a，解得x＝2a，y＝3b，故点P(2a,3b)．同理，直线BC的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为BP平分∠DBC，由角平分线定理，得点P到边BC的距离等于点P到边BD的距离，即|2ab＋3ab－ab|a2＋b2＝3b，得4a＝3a2＋b2，则16a2＝9(a2＋b2)，所以7a2＝9b2.故7a2＝9(a2－c2)，得9c2＝2a2，离心率为e＝ca＝23.答案：D13．(2015·北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.设M(xM,0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝n－1mx.所以xM＝m1－n，即Mm1－n，0.(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．设N(xN,0)，则xN＝m1＋n.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得|OM||OQ|＝|OQ||ON|”，即yQ满足y2Q＝|xM||xN|.因为xM＝m1－n，xN＝m1＋n，m22＋n2＝1.所以y2Q＝|xM||xN|＝m21－n2＝2.所以yQ＝2或yQ＝－2.故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，2)或(0，－2)．14．(2015·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：x24a2＋y24b2＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(ⅰ)求|OQ||OP|的值；(ⅱ)求△ABQ面积的最大值．解(1)由题意知2a＝4，则a＝2，又ca＝32，a2－c2＝b2，可得b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知椭圆E的方程为x216＋y24＝1.(ⅰ)设P(x0，y0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为x204＋y20＝1，又－λx0216＋－λy024＝1，即λ24x204＋y20＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2.(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－161＋4k2.所以|x1－x2|＝416k2＋4－m21＋4k2.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝12|m||x1－x2|＝216k2＋4－m2|m|1＋4k2＝216k2＋4－m2m21＋4k2＝24－m21＋4k2m21＋4k2.设m21＋4k2＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝24－tt＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23.由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所在△ABQ面积的最大值为63.15．(2015·天津卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝b24截得的线段的长为c，|FM|＝433.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．解(1)由已知有c2a2＝13，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c,0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．由已知，有kck2＋12＋c22＝b22，解得k＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x23c2＋y22c2＝1，直线FM的方程为y＝33(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－53c，或x＝c.因为点M在第一象限，可得M的坐标为c，233c.由|FM|＝c＋c2＋233c－02＝433.解得c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立．y＝tx＋1，x23＋y22＝1，消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，又由已知，得t＝6－2x23x＋12＞2，解得－32＜x＜－1，或－1＜x＜0.设直线OP的斜率为m，得m＝yx，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－23.①当x∈－32，－1时，