导数基本概念

第一节导数的概念与运算一、思维导图二、知识模块【知识点1】导数的定义1．导数的概念设函数()yfx在0xx附近有定义，如果0x时，y与x的比yx（也叫函数的平均变化率）有极限，即yx无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数()yfx在0xx处的导数，记作0'()fx或0'xxy.即0'()fx=0000000()()()()limlimlimxxxxfxxfxfxfxyxxxx.2.导数的物理意义：瞬时速度设0t时刻一车从某点出发，在t时刻车走了一定的距离.SSt在01~tt时刻，车走了10()()StSt，这一段时间里车的平均速度为1010()()StSttt，当1t与0t很接近时，该平均速度近似于0t时刻的瞬时速度.若令10tt，则可以认为101010()()limttStSttt，即0'()St就是0t时刻的瞬时速度.3.思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.例1:设0'()fx存在，求下列各式极限.⑴0003limxfxxfxx；⑵000limhfxhfxh例2:若0002lim13xfxxfxx，则0'()fx等于（）A.23B.32C.3D.2例3:设()fx在0x处可导，则0003limxfxxfxxx等于（）A.02'()fxB.0'()fxC.03'()fxD.04'()fx例4:若()yfx既是周期函数，又是偶函数，则其导函数'()yfx（）A.既是周期函数，又是偶函数B.既是周期函数，又是奇函数C.不是周期函数，但是偶函数D.不是周期函数，但是奇函数例5:已知函数2,0(),0xxyfxxx，那么0'xy的值为（）A.0B.1C.1或0D.不存在例6:已知22lim21xxaxbx，其中,abR，则ab的值为（）A.6B.2C.2D.6例7:已知,,mNabR，若01limmxxabx，则ab等于（）A.mB.mC.1D.1例8:132lim1xxx等于（）A.12B.0C.12D.不存在例9:已知(3)4,'(3)1ff，则343()lim3xxfxx____例10:已知定义在R上的函数(),()fxgx，若01()1(),lim(),2xfxxgxgx则()fx在0x处的导数'(0)f___例11:如图157，函数()fx的图象是折线段ABC，其中,,ABC的坐标分别为0,4，2,0，6,4，则0ff___；011limxfxfx___例12:设等差数列na的前n项和为nS，若1312,aS则2limnnSn____例13:211lim34xxxx___例14:已知函数23,0(),0xxfxax，在点0x处连续，则2221limnanann_____例15:设2,1(),1xxfxaxbx，试求,ab的值，使()fx在1x处可导.【知识点2】求函数的导数1.导数的运算的法则（和、差、积、商）设()uux，()vvx均可导，则⑴()'''uvuv；⑵()'''uvuvuv；⑶2''()'(0)uuvuvvvv2.基本导数表⑴'0(CC为常数）；⑵1()'()nnxnxnQ；⑶()'lnxxaaa；⑷()'xxee；⑸1(log)'lnaxxa；⑹1(ln)'xx；⑺(sin)'cosxx；⑻(cos)'sinxx；3.思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.例1:求下列函数的导数⑴5yx；⑵41yx；⑶53yx；⑷10xy；⑸2logyx；⑹sinyx例2:sinlncoslnyxxx，则'y等于（）A.2coslnxB.12coslnxC.2sinlnxD.sinlnx例3:()2LfLg的导数'()fL为（）A.2gLB.gLC.12gLD.L例4:设函数1()sin2sin2fxxx，导函数为'()fx，则下列关于导函数'()fx的说法正确的是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数例5:记,22xxxxeeeeshxchx，则'shx（）A.shxB.shxC.chxD.chx例6:二次函数2()fxaxbxc导函数为'()fx，已知'(0)0f，且对任意实数x，有()0fx，则(1)(0)ff的最小值为___例7:已知函数()'()cossin4fxfxx，则()4f的值为_____【知识点3】复合函数求导1.复合函数的导数复合函数[()]yfgx的导数与函数()yfu，()yfu的导数之间具有关系'''xuxyyu，该关系用语言表述就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”，也就是先把()gx当做一个整体，把[()]yfgx对()gx求导，再把()gx对x求导，这二者的乘积就是复合函数[()]yfgx对x的导数例1:求下列函数的导数.⑴32xye；⑵2log21yx；⑶sin23yx；⑷11yx例2:函数cos2sinyxx的导数为（）A.cos2sin22xxxB.cos2sin22xxxC.sin2sin22xxxD.cos2sin22xxx例3:函数sinsin+coscosyxx的导数是（）A.'coscossinsinsincosyxxxxB.'coscossinsinsincosyxxxxC.'sincoscossinyxxD.'cos2yx例4:函数sinlncoslnyxx的导数为（）A.coslnsinlnxxxB.coslnsinlnxxxC.coslnsinlnxxD.coslnsinlnxx例5:求函数sincosxyx的导数例6:求函数1yx的导数【知识点4】导数的几何意义1.导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率函数()yfx在0x处的导数0'()fx，表示曲线()yfx在点00,()Pxfx处的切线PT的斜率，即0tan'()fx，如图3-1所示，过点P的切线方程为000'()()yyfxxx.同样可以定义曲线()yfx在0x的法线为过点00,()Pxfx与曲线()yfx在0xx的切线垂直的直线.过点P的法线方程为00001()('()0).'()yyxxfxfx例1：设函数()fx是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线()yfx在5x处的切线斜率为（）A.15B.0C.15D.5例2:下列各函数在点0x处没有切线的是（）A.3sinyxxB.2cosyxxC.31yxD.cosyxx例3:若0y是曲线3yxbxc的一条切线，则3232bc（）A.1B.0C.1D.2例4:已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A.3B.2C.1D.12例5：若在曲线sin(0)yxx上取一点M，使过M点的切线与直线32yx平行，则点M坐标为（）A.3(,)32B.3(,)32C.1(,)62D.3(,)62例6：如果一直线过原点且与曲线11yx相切于点P，那么切点P的坐标为（）A.1(,2)2B.12(,)23C.(2,1)D.1(2,)3例7：已知函数3()fxxx.（I）求曲线()yfx在点(,())Mtft处的切线方程；（II）设0a，如果过点(,)ab可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa例8：曲线3ln1yxx在点1,1处的切线方程为__________.例9：曲线33yxx在点13，处的切线方程_________.例10：曲线sin1sincos2xyxx在点(0)4M，处的切线的斜率为A.12B.12C.22D.22例11：曲线xye在点10，处的切线斜率为____________.例12：已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是A.(0,)4B.()42，C.3()24，D.3(,)4例13：若曲线2lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_____________.例14：设直线12yxb是曲线lnyx0x的一条切线，则实数b的值为_____________.例15：已知曲线21yx在0xx点处的切线与曲线31yx在0xx点处的切线互相平行，则0x的值为___________________.例16：已知函数2()ln(0)fxxaxxa（I）若曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线斜率为2，求a的值以及切线方程；（II）若()fx是单调函数，求a的取值范围。例17：已知函数2()ln(1)(0)2xfxxxxk(Ⅰ)当k=2时，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；(Ⅱ)求()fx的单调区间.例18:已知函数2()()()fxxaab(,,abRab)。（I）当1,2ab时，求曲线()yfx在点(2,())fx处的切线方程。（II）设12,xx是()fx的两个极值点，3x是()fx的一个零点，且31xx，32xx证明：存在实数4x，使得1234,,,xxxx按某种顺序排列后的等差数列，并求4x例19：已知函数32()4361,fxxtxtxtxR，其中tR．（Ⅰ）当1t时，求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）当0t时，求()fx的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()tfx在区间(0,1)内均存在零点．例20：设函数32()2fxxaxbxa，2()32gxxx，其中xR，,ab为常数，已知曲线()yfx与()ygx在点(2,0)处有相同的切线l.（I）求,ab的值，并写出切线l的方程；（II）若方程()()fxgxmx有三个互不相同的实根0、1x、2x，其中12xx，且对任意的12,xxx，()()(1)fxgxmx恒成立，求实数m的取值范围。【知识点5】综合例1:求下列函数的导数⑴5yx；⑵41yx；⑶53yx；⑷10xy；⑸2logyx；⑹sinyx例2:已知1x时，12++1nnxxxxxx，利用求导法求21123nxxnx的和例3:设函数()fx满足1()(),,,cafxbfabcxx为常数，ab，求'()fx例4：已知双曲线2xya，通过其上任意一点P做切线与,xy轴分别交于点,QR，试证：(I)点P平分QR；(II)OQR的面积为定值.例5:已知01221nnnnnnnxCCxCxCx，利用求导法证明：12122nnnnnCCnCn