导数应用(凸凹性).

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学第五章一元微分学的应用脚本编写：王利平教案制作：王利平高等数学A（1）一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第二讲曲线的凹凸性、函数图形的描绘我们说一个函数单调增加,你能画出函数所对应的曲线的图形吗?OxyAB?!..一、曲线的凹凸性、拐点在区间I上:曲线弧段位于相应的弦线上方时,称之为凸的;曲线弧段位于相应的弦线下方时,称之为凹的.凸凹Oxy221xx)(xfy2x1xOxy221xx)(xfy2x1x.)I()(Cxf设,)(I,2121恒有如果xxxx))()((21)2(2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy在区间I上是凸的;,)(I,2121恒有如果xxxx))()((21)2(2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy在区间I上是凹的.定义.)1,0(,)I()(Cxf设)()1()())1((2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy在区间I上是凸的;,)(I,2121恒有如果xxxx)()1()())1((2121xfxfxxf成立,则称曲线)(xfy在区间I上是凹的;,)(I,2121恒有如果xxxx1.曲线凹凸性的定义及其判别法.3的凹凸性分析立方抛物线xy)2(21xxf8333222122131xxxxxx2))()((21323121xxxfxf,)0,(上在,))()((21)2(2121xfxfxxf.3是凸的xy,),0(上在,))()((21)2(2121xfxfxxf.3是凹的xy例1分析Oxy3xy,)0,(上在,3是凸的xy,32xy,6xy.0y此时,),0(上在,3是凹的xy.0y此时,0时x,0y.)0,0(是曲线凹凸性的分界点点有何体会？能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？.),(,)],[()(内有二阶导数在设babaCxf,),(,21baxx则令,2210xxx222121101xxxxxxx221221202xxxxxxx)(0102xxxx20000)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf由泰勒公式201101001)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf有202202002)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf.,,202101之间与在之间与在其中xxxx20121021)))(()(()(2)(xxffxfxfxf于是20121021)))(()(()(2)(xxffxfxfxf即,),(,0)(则若baxxf,0)(2)(021xfxfxf2210xxx.))()((21)2(2121xfxfxxf即)(,),(,0)(xfybaxxf曲线时故.],[上是凹的在区间ba)(,),(,0)(xfybaxxf曲线时故.],[上是凹的在区间ba以上过程实际上证明了下面的判别曲线凹凸性的一个方法.定理.),(,)],[()(内有二阶导数在设babaCxf.],[)(,),(,0)(上是凹的在则曲线若baxfybaxxf.],[)(,),(,0)(上是凸的在则曲线若baxfybaxxf在运用该定理时要注意：但仅在个别孤立点处等于零,则定理仍然成立.,),(,0)(0)(baxxf如果.1的凹凸性判别曲线xy.),0()0,(函数的定义域为,2,132xyxy因为,1,0,)0,(为凸的时所以xyyx.1,0,),0(为凹的时xyyx该函数的图形请自己绘出.例2解.)0(1432231的凹凸性研究aaxaxaxay,233221axaxay,2621axay,0,312yaax时故,0,312yaax时,0,312yaax时例3解.),(函数的定义域为;)3,(12中是凸的曲线在aa;),3(12中是凹的曲线在aa.312是曲线凹凸性的分界点aax.1),1(4内的凹凸性在研究xy,43xy,122xy,0,)1,1(yx时,0,0yx时且仅在.1)1,(4内是凹的在故xyOxy4xy0x只是使0y的孤立点,不是曲线凹凸性的分界点.例3解连续曲线上凸弧与凹弧度分界点,称为曲线的拐点.OxyOxy)(xfy)(xgy2.曲线拐点的定义及判别法.)(上二阶可导在区间设Ixf.0)(,)()(),(0000xfIxxfyyx则的拐点为曲线若.)(),(0的拐点为函数设xfbaIx:,不妨设由拐点的定义.)(,),(0为凹的时xfybxx,)(故上二阶可导在由Ixf);0(,),(,0)(00xxxxxxf),0(,),(,0)(00xxxxxxf定理(判别拐点的必要条件)证;)(,),(0为凸的时xfyxax,)(),(00xxxxf于是,)(),(00xxxxf,)(0处取极小值在故xxxf.0))(()(00xxxfxf从而必有,)(0)(不存在的点及使xfxf称为曲线的拐点可疑点.定理(判别拐点的充分条件).)I()(Uˆ)(,)I()(00内二阶可导在设xxxfCxf,)(0则两侧符号相反在点若xxf.)())(,(00的拐点为曲线点xfyxfx根据拐点的定义立即可证明该定理..,22并求拐点的凹凸性讨论曲线xey),(:定义域为,22xxey,)1(222xexy:0得拐点可疑点令y)(1,1横坐标xxxyy)1,(1)1,1(1),1(00拐点拐点例4解,),1()1,(内为凹的及在.1),1(内为凸的在.),1(),1(2121为其拐点及点eeOxy1122xey:22xey曲线.)(21,:2yxyxeeeyx时证明,),(,)(tetft令,),(,0)()(tetftft.),()(内是凹的所对应的曲线在故tetf,),(,yx,)(212yxyxeee.)(yx例5解,有由曲线凹性的定义,0)2.5,2(2的拐点为曲线已知点ybxayx.,的值求ba.0:2bx由题意,得由隐函数求导法则,22bxayxy,)(246222bxybxayxy.0:1y由拐点的必要条件得:5.2,2代入得以yx(1)05860ba例6解:,,得其坐标满足曲线方程又拐点在曲线上(2)05.2210ba,)2(,)1(解之得成方程组联立,320a.34b例7],[)(其一阶导数的图形上二阶可导，在设函数baxf.如下图所示.)(性、凹凸性的极值点、拐点、单调指出函数xf;],[],,[],,[内单调增加TQPKJa.],[],,[内单调减少QPKJ;Q,:;,:KPJ极小点极大点凹凹凹凹凸凸凸凸.,,,,,,:IHFEDCB拐点xyO)(xfyABCDEFHIKJPQTabMW函数的凹凸性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的联系吗?画画图就能搞清楚.极大凸0)(xf极小凹0)(xf若动点P沿着曲线y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点P到一直线L的距离趋于零,则称此直线L为曲线y=f(x)的一条渐近线.二、曲线的渐近线定义曲线的渐近线水平渐近线垂直渐近线斜渐近线Oxyxy1,01limxx.0y水平渐近线,1lim0xx.0x垂直渐近线水平渐近线.)(,)(limbyxfbxfx有一条水平渐近线则曲线若.)(lim)(limbxfbxfxx或这里的极限可以是.)(,)(limaxxfyxfax有一条垂直渐近线则曲线若这里的极限可以是;)(lim,)(limxfxfaxax.)(lim,)(limxfxfaxax;)(limxfax垂直渐近线Oxy)(xfybxay,0))()((limbxaxfx.bxay斜渐近线想想：怎么求a,b?)(,))((lim,)(limxfybxaxfaxxfxx则曲线若.bxay有一条斜渐近线这里的极限过程可以是.,xx以上的极限实际是.0))()((limbxaxfx斜渐近线.sin的渐近线求曲线xxy,0sinlimxxx.sin0的水平渐近线是曲线xxyyOxyxxysin0y曲线可以穿过其渐近线.例8解.ln的渐近线求曲线xy的定义域：lnxy),0(x,lnlim0xx是曲线0x.ln的垂直渐近线xyOxyxyln1例9解.12的渐近线求曲线xxy1lim2xxx曲线无水平渐近线,1lim20xxx1lim20xxx.0x曲线有垂直渐近线(函数间断)曲线有斜渐近线吗？例10解11lim1lim222xxxxxxx1a01lim11lim)()(2xxxxxx0b.xbxay曲线有斜渐近线.)0(13,13323的渐近线求曲线kttkyttkx1lim33limlim121ttktkxyttx1a,,1yxt由于所以,该曲线无水平渐近线和垂直渐近线.))1((limxyxktttkt13lim21kb.kxy故曲线有斜渐近线例11解现在给定一个函数,我们可以讨论它的：定义域、值域、奇偶性、有界性、周期性、连续性、间断点、可微性、单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、零点位置.用极限讨论函数的变化趋势.用泰勒公式将函数离散化.作函数图形的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域,观察奇偶性、周期性.(2)求函数的一、二阶导数,(3)列表,确定函数的单调性、凹凸性、极值、拐点.(4)求曲线的渐近线.(5)作出函数的图形.三、函数图形的描绘确定极值可疑点和拐点可疑点..)1()1(23的图形作出函数xxy:函数的定义域.),1()1,(x,)1()5()1(32xxxy,)1()1(244xxy,5,1,0xxy得驻点令,1,0xy得拐点可疑点令例12解xyyy)5,(5)1,5(1)1,1(1),1(000极大拐点,5:x极大点,5.13)5(:f极大值.)0,1(拐点为,)1()1(lim23xxx曲线无水平渐近线.,)1()1(lim231xxx.1为垂直渐近线x1)1()1(lim)(lim23xxxxxfxx1a5)1(125lim))((lim22xxxxaxfxx5b.5xy曲线有斜渐近线.)1,0(,轴相交于点曲线与此外yOxy15xy523)1()1(xxy5.130)(1,