导数的应用(单调性极值最值)

导数的应用（单调性、极值、最值）蓝园高级中学数学组陈秋彬考纲要求1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解极大值、极小值的概念；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值。3.会用导数求不超过三次的多项式函数在定区间上的最大值、最小值。命题规律从进几年的高考试题来看，利用导数研究函数的单调性、极值和最值是导数的基本问题，每年必考，分值较大，需要考生重点练习、熟练应用。导数及其应用占据着非常重要的地位，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；还包括将导数内容和传统内容中有关不等式、函数、解析几何等知识有机地结合在一起，设计综合试题。随着导数作为考试内容的考查力度逐年增大，导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。导数一般考法比较简单，就是讨论单调区间求最值。但也有的省市考得较难，与不等式结合，放在最后一题的位置，往往需要我们理解其几何意义，才能找到方向。考点解读考点1函数的单调性与导数1.在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递间.2.判断函数单调性的步骤：因为()fx，所以()fx.当()0fx，即时，函数()fx单调递增；当()0fx，即时，函数()fx单调递减.函数()fx的单调增区间为，单调减区间为.3.一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.考点2函数的极值与导数1.(1)如果函数()yfx在点xa的函数值()fa比它在点xa附近其他点的函数值都小,那么点a叫做()yfx的极小值点，()fa叫做函数()yfx的极小值；(2)如果函数()yfx在点xb的函数值()fb比它在点xb附近其他点的函数值都大，那么点b叫做()yfx的极大值点，()fb叫做函数()yfx的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.(1)求函数()yfx的极值的方法(充分条件)：解方程()0fx.当0()0fx时：①如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是极大值；②如果在0x附近的左侧()0fx，右侧()0fx，那么0()fx是极小值.(2)必要条件:函数()yfx在一点取得极值的必要条件是函数()yfx在这一点的导数值0。考点3函数的最大(小)值与导数1.一般地，如果在区间[,]ab上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.2.求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤：①求函数()yfx在(,)ab内的极值；②将函数()yfx的各极值与断点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.考点突破考点1函数的单调性与导数典例求下列函数的单调区间：(1).32)(24xxxf；(2).22)(xxxf；解题思路在对函数求导以前，先求出函数的定义域，然后求函数的导数，利用导数大于零和小于零解出单调增区间和减区间。解题过程(1).函数)(xf的定义域为R，xxxxxxf)1)(1(44)(4令0)(xf，得01x或1x．∴函数)(xf的单调递增区间为（－1，0）和),1(；令0)(xf，得1x或10x，∴函数)(xf的单调递减区间为)1,(和（0，1）．(2).函数定义域为.20x.2122)2()(222xxxxxxxxf令0)(xf，得10x．∴函数)(xf的递增区间为（0，1）；令0)(xf，得21x，∴函数)(xf的单调递减区间为（1，2）．(3).函数定义域为).)((11)(,022bxbxxxbxfx令0)(xf，得bx或bx．∴函数)(xf的单调递增区间为),(b和),(b；令0)(xf，得bxb且0x，∴函数)(xf的单调递减区间是)0,(b和),0(b．易错点拨为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例(1)中，函数)(xf的单调递增区间和递减区间分别写成),1()0,1(和)1,0()1,(的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．变式1函数)0()(bxbxxf的单调递增区间为，单调递减区间为。点拨求函数的导数，令导数0)(/xf解出即可，注意答案的填写。答案),(b和),(b；)0,(b和),0(b．变式2函数xy11log21在区间),0(上是（）A．增函数，且0yB．减函数，且0yC．增函数，且0yD．减函数，且0y点拨关键理解符合函数的单调性和对定义域的考虑，注意对数的性质。答案C考点2函数的极值与导数典例已知函数321()33fxaxbxx,其中0a，当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?解题思路求函数)(xf的导数，令0)(/xf转变为含参数的一元二次方程问题，通过讨论方程是否有跟，层层深入解决问题。解题过程由已知得2'()21fxaxbx,令0)('xf,得2210axbx,)(xf要取得极值,方程2210axbx必须有解,所以△2440ba,即2ba,此时方程2210axbx的根为2212442bbabbaxaa,2222442bbabbaxaa,所以12'()()()fxaxxxx当0a时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当0a时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当ba,满足2ba时,)(xf取得极值.易错点拨对含参数方程或不等式的讨论容易出错，可借助函数图象。变式1已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极大值5，其导函数'()yfx的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x的值；（Ⅱ）,,abc的值.点拨理解极值的意义和本质，借助导函数的图象来研究原函数的性质。答案01,2,9,12xabc变式2（2012陕西理7）设函数()xfxxe，则（）（A）1x为()fx的极大值点（B）1x为()fx的极小值点（C）1x为()fx的极大值点（D）1x为()fx的极小值点点拨求函数)(xf的导数，令0)(/xf，进而判断极大值和极小值。答案D考点3函数的最大、最小值与导数典例1已知cxbxaxxf2)(23在2x时有极大值6，在1x时有极小值，求cba、、的值；并求)(xf在区间[－3，3]上的最大值和最小值.解题思路先通过极值的意义求出cba、、的值，然后对函数()yfx的各极值与端点处的函数值)3(f、)3(f比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.解题过程23)(2/xxxf，令0)(/xf得32x或1x.∵当32x或1x时,0)(/xf∴)(xfy在32,和,1上为增函数,在1,32上为减函数,∴)(xf在32x处有极大值,在1x处有极小值.极大值为27225)(32f,而7)2(f,∴)(xf在2,1上的最大值为7.若对于任意2,1x都有mxf)(成立,得m的范围7m.易错点拨区别极值和最值，容易混淆，计算易出错。变式已知函数cbxaxxxf23)(在32x与x=1时都取得极值。（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对]2,1[x时，不等式2)(cxf恒成立，求c的取值范围。【方法提炼】利用导数法求函数的单调区间，应按照求单调区间的一般步骤，注意函数单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间，求函数单调区间时千万不要忽视函数的定义域．作业：复习课本巧练模拟