导数的概念与运算

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！导数的概念与运算一、知识回顾⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即：xxfxxfxfx)()(lim)(0000/000limxxxfxfxx○2函数)(xfy的导数)('xf，就是当0x时，函数的增量y与自变量的增量x的比xy的极限，即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)('00．○3函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义，就是曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'C(C为常数)；⑵1)'(nnnxx(Qn)；⑶xxcos)'(sin；⑷xxsin)'(cos；⑸*xxx22seccos1)'(tan；⑹*xxx22cscsin1)'(cot；⑺xxee)'(；⑻aaaxxln)'(；⑼xx1)'(ln；⑽exxaalog1)'(log．⒊导数的运算法则：高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(vuvu；②'')'(uvvuuv；③)0(''2'vvuvvuvu．⑵复合函数的导数：xuxuyy'·''．二、基本训练1.(05浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()(A)18(B)41(C)21(D)12.若2)(0xf，则kxfkxfk2)()(000lim3．如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y=f（t）=t3+3，（1）当t1=4，△t=0.01时，求△y和比值xy；（2）求t1=4时，tyt0lim的值；（3）说明tyt0lim的几何意义.4．在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y)，则xy为……………（）A.△x+x1+2B.△x－x1－2C.△x+2D.2+△x－x15．一质点的运动方程为s=5－3t2，则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为……（）A.3△t+6B.－3△t+6C.3△t－6D.－3△t－66.已知两曲线axxy3和cbxxy2都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。三、例题分析例1、用定义求10,801610,542xxxxy在点x=10处的导数。例2求下列函数的导数：(1)y=(2x2-1)(3x+1)(2)xxysin2(3))1ln(2xxy(4)11xxeey(5)xxxxysincos(6)xxxycossin2cos高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！例3、已知曲线C：4923234xxxy（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。例4(1)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为h=t2，求t=4s时,此球在垂直方向的瞬时速度．(2)质点P在半径为10cm,圆心在原点的圆上逆时针做匀角速运动,角速度为1rad/s,设该圆与x轴正半轴的交点A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上射影点M的速度.四、课堂小结1．函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限2．求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分拆。3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题如：切线、加速度等问题打下理论基础.答案基本训练1.B2.-16.解：因为点P（1,2）在曲线axxy3上，1a函数axxy3和cbxxy2的导数分别为axy23和bxy2，且在点P处有公切数ba12132，得b=2又由c12122，得1c例题例1.1610xy例2.（１）34182xxy,(2)xxxxycossin22;(3)211xy,(4)2)1(2xxeey;(5)2)sin(1cossinsincosxxxxxxxxy,(6)xxycossin.例3.（1）切线方程为1124xy，即812y（2）除切点外，还有两个交点0,32,32,2。例4.(1)8|4thv米/秒,即球在垂直方向的瞬时速度８米/秒．高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！(2)点P在y轴上射影点M的速度为tycos10cm/s.五、作业g3.1032导数的概念与运算1．函数y=(x+2a)(x－a)2的导数为（）A．2（x2－a2）B.3(x2+a2)C.3(x2－a2)D.2(x2+a2)2．y=ln[ln(lnx)]的导数为（）A．)ln(ln1xxB．)ln(lnln1xxC.)ln(lnln1xxxD.)ln(ln1x3．函数y=sinnxcosnx的导数为（）A．nsinn－1xcosnxB.nsinnxcosnxC.nsinnxcos(n+1)xD.nsinn－1xcos(n+1)x4．若y=32xlg(1－cos2x)，则xy为（）A．4·9x[2ln3lg(1－cos2x)+lge·cotx]B.4·9x[2ln3lg(1－cos2x)+lg10·cotx]C.2·9x[ln3·lg(1－cos2x)+lge·cotx]D.以上皆非5．已知f(x)=x216,(5)xf为()A．2710B.2710C.32128D.以上皆非6.（05湖北卷）在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．07.(05全国卷III)曲线32yxx在点（1，1）处的切线方程为8．函数y=xxsin2的导数为______.9．函数y=332xx在点x=3处的导数值为_____.10．函数y=2x2－3x+4－223xx的导数为______.11．函数y=)32(sin2x的导数为______.12．在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度（弧度）由函数)(t4t－0.3t2给出，求：（1）t=2(秒)时，飞轮转过的角度；（1）飞轮停止旋转的时刻.高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！13．动点沿ox轴的运动规律由x=10t+5t2给出，式中t表示时间（单位：s）,x表示距离（单位：m），求在20≤t≤20+△t时间段内动点的平均速度，其中①△t=1；②△t=O.1；③△t=0.01当t=20时，运动的瞬时速度等于什么？14．设2ln(1),0()0,01sin,0xxfxxxxx求f′(x).