导数章末总结学案

1《导数及其应用》章末总结学案2013.4.8一、知识点归纳（要熟记）1．导数的概念(1)如果当0x时，yx有极限，就说函数()yfx在点0xx处存在导数，并将这个极限叫做函数()fx在点0xx处的导数(或变化率)，记作0()fx或0|xxy，即00()lim__________________.xyfxx0()fx的几何意义是曲线()yfx在点00(,())xfx处的；瞬时速度就是位移函数()st对的导数；加速度就是速度函数()vt对______________的导数.(2)如果函数()fx在开区间(,)ab内的每一点都可导，其导数值在(,)ab内构成一个新函数，这个函数叫做()fx在开区间(,)ab内的导函数，记作或.2、如何求过某点的曲线的切线方程？首先要确定该点是否在曲线上，若在，则；若不在，则3、导数公式(1)'____C(C为常数)；(2)()'________nx,n∈N+；(3)(sin)'_______x；(4)(cos)'_______x;(5)()'________xe;(6)()'_________xa;(7)(ln)'______x;(8))'(logxa.（9）复合函数求导：若(),()yfuugx，则y4．可导函数的四则运算法则法则1'[()()]____________.uxvx(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则2[()()]____________uxvx.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)法则3()[]_______________(()0)()uxvxvx(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)5．函数的单调性函数()fx在某个区间(,)ab内，若()0fx，则()fx为；若()0fx，则()fx为；若()0fx，则()fx为。可导函数()fx在某个区间(,)ab内单调递增()0fx对(,)xab恒成立；可导函数()fx在某个区间(,)ab内单调递减()0fx对(,)xab恒成立.6．（1）函数极值的概念内部资料注意保存2班级姓名学号小组函数()yfx在点xa处的函数值()fa比它在点xa附近其它点的函数值都小，()0fa；而且在点xa附近的左侧，右侧，则点xa叫做函数()yfx的，()fa叫做函数()yfx的.函数()yfx在点xb处的函数值()fb比它在点xb附近其它点的函数值都大，()0fb；而且在点xb附近的左侧，右侧，则点xb叫做函数()yfx的，()fb叫做函数()yfx的.极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为.（2）求函数极值的步骤：①；②；③。需注意：导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若异号，则该点为极值点；若同号，则非极值点。一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，如y=|x|在x=0处，但可导函数的极值点一定导数为0.7．函数的最大值与最小值在闭区间[,]ab上连续，(,)ab内可导，()fx在闭区间[,]ab上求最大值与最小值的步骤是：（1）；（2）。8．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）设：设出未知量（2）列：分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，列出实际问题中，根据实际问题确定函数的。（3）解：求函数()yfx的，解方程，得出定义域内的实根，判断单调调性，获得所求函数的最大（小）值。（4）答：还原到原实际问题中作答。实际应用中准确地列出函数的解析式，确定函数的定义域是求解的关键！10、积分定积分的几何意义(1)设函数()fx在区间[,]ab上连续.在[,]ab上，当()0fx时，定积分()bafxdx在几何上表示由曲线()yfx以及直线,xaxb与轴围成的曲边梯形的面积；当()0fx时，由曲线()yfx以及直线,xaxb与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分()bafxdx在几何上表示曲边梯形面积的相反数；（2）在[,]ab上，当()fx既取正值又取负值时，曲线()yfx的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；3在一般情形下，定积分()bafxdx的几何意义是曲线()yfx，两条直线,xaxb与轴所围成的各部分面积的代数和.（3）如图，由曲线112212(),(),()()yfxyfxfxfx及直线,xaxb，围成图形的面积为：利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）借助图形确定出被积函数；（4）写出平面图形的定积分表达式；（5）运用公式求出平面图形的面积.（4）物体在变力()Fx的作用下做直线运动，并且物体沿着与()Fx相同的方向从移动到，那么变力()Fx所作的功()baWFxdx如：如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为A.0.28JB.0.12JC.0.26JD.0.18J二、典型例题一、导数的定义及运算例1．(1)设函数()fx在2x处可导，且(2)1f，则0(2)(2)lim2hfhfhh=；(2)cosyxx在3x处的导数值是___________.(3)已知fxxxf()'()221，则f'()1等于（）A.0B.2C.4D.2二、导数的几何意义例2．已知曲线31433yx.（1）求曲线在点(2,4)P处的切线方程(2)求曲线过点(2,4)P的切线方程。三、导数的应用：导数的应用包括以下几个方面:(1)利用导数研究函数的单调性和单调区间;(2)利用导数研究函数极值与最值;(3)利用导数研究不等式的证明问题;(4)利用导数研究函数的零点;(5)利用导数求参数的取值范围等.4例3、（1）函数xxyln的单调递减区间是（）A．),(1eB．),(1eC．),0(1eD．),(e（2）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数．．．的图象如下面左图所示，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）（3）已知fxxxm()2632（m为常数）在[]22，上有最大值3，那么此函数在[]22，上的最小值为（）A．5B．11C．29D．37（4）设a为实数,函数3()3fxxxa(1)求()fx的极值;(2)当a为何值时,函数()yfx恰好有两个零点?(5)已知函数21()ln2fxxax.（1）若函数()fx的图象在2x处的切线方程为yxb，求,ab的值；（2）若函数()fx在(1,)上为增函数，求a的取值范围5（6）已知函数()ln(2)(1)(0)fxxaxa.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若2,x证明：11ln(2)12xxx四、导数的实际应用例4、甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？五、积分的应用例5、如右图，阴影部分的面积是（）A．32B．32C．332D．335变式训练：设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______6-22xyO1-1-11班级姓名学号小组三、自我检测题1、若函数cbxxxf2)(的图象的顶点在第四象限，则函数)(xf的图象是（）2、曲线3cos(0)2yxx与坐标轴围成的面积是A.4B.52C.3D.23、若函数32()1fxxxmx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是A.1(,)3B.1(,)3C.1[,)3D.1(,]34、函数xexxf)3()(的单调递增区间是（）A．)2,(B．(0,3)C．(1,4)D．),2(5、已知函数431()23,2fxxxmxR，若()90fx恒成立，则实数m的取值范围是A.32mB.32mC.32mD.32m6、已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是（）7、设))(()(,),()(),()(,sin)(112010Nnxfxfxfxfxfxfxxfnn,则2010()fx()A.xsinB.xsinC.cosxD.cosx8、如图所示的是函数dcxbxxxf23)(的大致图象，则2221xx等于（）A．32B．34C．38D．316O-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124ABCD79、若xexf1)(，则0(12)(1)limtftft___________.10、函数1)ln(xxy的单调减区间是。11、某食品厂进行蘑菇的深加工，没劲蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且（25t），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(2540)x，根据市场调查，日销售量q与xe成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤。（1）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（2）若5t，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的日利润y最大，并求最大值.12、已知函数).(111)(Raxaaxnxxf（Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1fxfya（Ⅱ）当12a≤时，讨论()fx的单调性．813、已知二次函数ttttylcbxaxxf.20(8:,)(212其中直线为常数）；2:2xl.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（Ⅰ）求a、b、c的值（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；（Ⅲ）若,ln6)(mxxg问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.14、已知函数aaxxxxf其中,1ln)(为大于零的常数。（1）若函数),1[)(在区间xf内调递增，求a的取值范围；（2）求函数)(xf在区间[1，2]上的最小值。（3）求证：对于任意的nnnNn13121ln,1,*都有时且成立。