微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)

微积分（上）试题A第页共4页1一、选择题(选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．10lim2xx_________。（A）-（B）+（C）0（D）不存在2．当0x时，()xxfxx的极限为_________。（A）0（B）1（C）2（D）不存在３．下列极限存在，则成立的是_________。0()()()lim()xfaxfaAfax0()(0)()lim(0)xftxfBtfx0000()()()lim2()tfxtfxtCfxt0()()()lim()xfxfaDfaax４．设f（x）有二阶连续导数，且0()(0)0,lim1,0()_______xfxfffxx则是的。（A）极小值（B）极大值（C）拐点（D）不是极值点也不是拐点5．若()(),fxgx则下列各式成立。()()()0Afxx()()()BfxxC()()()Cdfxdx()()()ddDfxdxxdxdxdx二、填空题（每小题3分，共18分）1.设0(2)()0(0)0,lim1sinxfxfxxfx在处可导，且，那么曲线()yfx在原点处的切线方程是__________。２．函数()3fxxx在区间[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的=。3．设1(),()lnfxfxdxx的一个原函数是那么。4．设(),xfxxe那么2阶导函数()___fxx在点取得极_____值。5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数52QP，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格下降1％，需求量将。6．若,11),(xxuufy且,1)('uufdydx。三、计算题（每小题6分，共42分）：1、求11ln(ln)limxxex微积分（上）试题A第页共4页22、1[(1)]limxxxex3、设211~,21xaxxcbx时，无穷小量求常数a、b、c.4、1(2)1dxxx5、ln(2)xxedxe6、3cossinxxdxx7、设函数f(x)具有二阶导数，且f（0）=0,又(0)0()()0fxgxfxxx，求()gx。四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。（1）求边际收益函数和边际成本函数；（2）求使销售利润最大的商品单价。五、（12分）作函数221(1)xyx的图形六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(xf在[,]ab上连续，且()fx在(,)ab内是常数，证明)(xf在[,]ab上的表达式为(),fxAxBAB其中、为常数。2、设函数)(xf在[0,)上可导，且()0,(0)0.fxkf证明)(xf在(0,)内仅有一个零点。微积分（上）试题A第页共4页3《微积分》（上）期末考试试卷答案(A)一、选择题(选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．C；2．D；3.BC;4.A;5.BC.二、填空题（每小题3分，共18分）1.12yx２．23．21lnCxx4．X=2,极小值5．上升2%6．221dydxx三、计算题（每小题6分，共42分）：1、求11ln(ln)limxxex解：令11ln(ln)xyx，则1lnln(ln)______21lnyxx分00011lnlimlnlimln(lnlim11lnxxxxxyxxx）=-1-----3分10limxye-----1分3、1[(1)]limxxxex解：原式=11[(1)1]2limxxxex分11111lim(1)241limxxxxxeexex分3、设211~,21xaxxcbx时，无穷小量求常数a、b、c.解：由2211axxcbx3分得a=0，b=-2，c取任意实数。3分4解：1(2)1dxxx211112[1(1)]1[1(1)]dxdxxxx3分1arc12tgxC3分微积分（上）试题A第页共4页45、解ln(2)1ln(2)ln(2)2xxxxxxxedxedeeedxee2分12ln(2)22xxxxxeeeedxe2分11ln(2)ln(2)2211()ln(2)22xxxxxeexeCeexC2分6、解：32cos11sin2sinxxdxxdxx2分221[csc]2sinxxdxx2分2112sin2xctgxCx2分7、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f（0）=0,又(0)0()()0fxgxfxxx，求()gx解：2()()0()xfxfxxxx当时，g，这时()gx连续2分200()(0)()(0)10(0)limlim(0)22xxfxxffxfxfxx当时，g3分所以2()(),0,()1(0),0.2xfxfxxxgxfx1分四、（8分）假设某种商品的需求量Q是单价P（单位元）的函数：Q=1200-8P；商品的总成本C是需求量Q的函数：C=2500+5Q。（3）求边际收益函数MR和边际成本函数MC；（4）求使销售利润最大的商品单价。解：（1）212008,5;MRPQPPMC3分（2）利润函数2()812408500,LPPQCPP1分微积分（上）试题A第页共4页5155()1612400,2LPP令得P=()160,Lp唯一驻点，又2分P=155/2时利润最大。2分五、（12分）作函数221(1)xyx的图形答案：（1）定义域是1,,11,x是间断点1分（2）渐近线因,0)1(122limxxx故y=0为水平渐近线因,)1(1221limxxx故x=1为垂直渐近线2分(3)单调性、极值、凹凸及拐点,)1(23'xxy令,0'y得x=0,)1(244''xxy令,0''y得21x再列表1)0(f是极小值；拐点是)89,21(.6分(4)选点当21x时，y=0;当23x时,y=8;当x=2时,y=3；当x=3时，45y1分x)21,(000间断点拐点)1,0(1),1()0,21(21'y''yy微积分（上）试题A第页共4页6(5)描点作图略2分六、证明题（每题5分，共计10分）1、设函数)(xf在[,]ab上连续，且()fx在(,)ab内是常数，证明)(xf在[,]ab上的表达式为(),fxAxBAB其中、为常数。证明：设(),fxk在（a，b）内任取一点x，在区间[a，x]上由拉格朗日中值定理有：()()()()()fxfafaxkaxax2分则()()(,())fxkxkafaAxBAkBkafa其中2分当x=a时，上式也成立。1分2、设函数)(xf在[0,)上可导，且()0,(0)0.fxkf证明)(xf在(0,)内仅有一个零点。证明：在0,)（内任取一点x，则()[0]fxx在，上满足拉格朗日中值定理条件，1()(0)(),fxffxkx()(0),fxkxf即3分令11(0)0,()0fxfxk且，由f（x）的单调性和零值定理知原命题成立。2分