微积分习题答案上海同济大学数学

微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三1．解：(1)200000()12()limlimlim.2ttttstttttvvgvgtttt(2)由00tvvgt有0;vtg(3)由0tvvgt有01(2).2Tvgtv。3．求曲线y=x(1-x)在横坐标为1处的切线的斜率。解：由y=1-2x可知当x=1时，y=-1。5．解：(1)220000(0)lim0,(0)lim0(0)0;00xxxxyyyxx(2)11000000(0)limlim,(0)limlim,00xxxxxxyxyxxx因此，只有当为有理数且2nm时0(0)lim0xyx成立。6．解：由于得f(x)在x=0和x=1点处可导，则必然在x=0和x=1点处连续，因此(1)00(0)(0),lim(e1)lim()0;xxxffxaa即(2)111sin(1)11(1)(1),limlim1.11xxxbxffbxx即7．设f(x)在x=0点连续，且0()1lim1xfxx，(1)求f(0);(2)问f(x)在x=0点是否可导？解：由于得f(x)在x=0点连续，则0lim()(0).xfxf由0()1lim1xfxx有：(1)00000()1()1limlimlim0lim()10lim()1xxxxxfxfxxxfxfxxx，即f(0)=1;(2)00()1()(0)limlim1(0)1.0xxfxfxffxx8．解:函数g(x)在x=0点连续,则当x0时,存在某个领域U(0),在此领域内g(x)是有界量。因此000()(0)()sin(0)sin0()sin(0)limlimlim(0).0xxxfxfgxxggxxfgxxx9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,fgfg求(1)00cos()(cos1)(()1)limlimxxxfxxfxxx00cos1()(0)1limlim(0);2xxxfxffxx(2)002()12()()()1limlimxxxxfxfxfxfxxx0021()1lim()lim(0)ln2(0);xxxfxfxffxx(3)11()2()222limlim11xxxgxxgxxxxx1111()21()(1)1lim2limlim2lim(1)1;1111xxxxgxxgxgxxgxxxx10．设(0)1,(0)1,ff求极限1(ln)1lim.1xfxx解:100(ln)1()1()(0)lnlimlimlim(0);11etxttfxftftftxfxt11．设(0)1,(0)1,ff(1)求当x0时,()1fx的主部；(2)求极限22(2)1lim.2xfxxx解：(1)求当x0时,()1(0)(1)(1),fxfxox因此f(x)-1的主部为1-x;(2)2220(2)1(2)1()(0)2limlimlim2(2)(2)xxtfxfxftftxxxxxtt0001()(0)11limlimlim(0);222tttftfftt17．解:(1)由()fx在(,)内可导，有100()(0)1limlimsin,0xxfxfxxx当1时,上述极限存在；(2)当x0时,12111()sinsincosfxxxxxxx,由0lim()xfx存在可知2，且有1211sincos,0()0,0xxxfxxxx18．解:已知2ln(12)yxaybx与在x=1点相切，即21ln(12)xxxabx=1223;3bb在切点处函数值相等，则213ln(12)13ln33ln31.xxxaxaa=1