微积分总复习(一)

1总复习（一）一、知识间的关系：研究对象：函数初等函数研究方法：极限数列的极限函数的极限Axfxax)(lim微Ayxfbyax,lim积连续一元函数连续分多元函数连续导数一元函数dxxfdy微分微分学偏导数研究内容多元函数dyyzdxxzdz全微分积分学不定积分二重积分牛顿-莱不尼兹三重积分定积分推广曲线积分曲面积分二．几个概念的比较1．不定积分与定积分的比较2cxFdxxf区别：不定积分：全体原函数的集合定积分：常数，曲边梯形面积的代数和联系：bFaFxFdxxfbaba2．定积分与二重积分的比较①定积分：曲边梯形的面积iniibaxfdxxf10lim②二重积分：曲顶柱体的体积iniiiDyxfdyxf10,lim,共同点：它们都是一个常数，只与被积函数，积分区间（区域）有关，与积分变量的选取无关。联系：二重积分转化成二次积分求解。3．偏导数、全微分、极限的关系（补充）注：二元函数可微所有的偏导数必存在，但偏导数不一定连续。各种关系图：3极限偏导数存在存在连续可微偏导数连续4．二重积分中直角坐标系与极坐标系的比较注：直角坐标与极坐标的选取规律：1．由积分区域D的形状：成圈的圆形、圆环、扇形、成近似圆形，近似环形，近似扇形。2．由被积函数的形式：被积函数中含有xyyx,22，即)(22yxf,)(xyf5．微分方程中，可分离变量的微分方程，一阶微分方程，二阶微分方程之间的关系。（1）可分离变量的一阶微分方程i）dyygdxxfii）齐次微分方程4xyfdxdy作变量代换xyt（2）一阶线性微分方程形如xqyxpy①0yxpy一阶线性齐次微分方程（分离变量求解）②xqyxpy一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）（3）二阶线性微分方程①xfy两次积分②yxfy,③yyfy,作变量代换pypy作变量代换dydppyypy5pxfp,pyfdydpp,三．计算主要题型计算思路连接无穷区间上广义积分转化推广转化水平延伸：无穷区间二重积分转化定积分推广有瑕玷的广义积分利用利用转化纵向延伸：无界函数对称性，几何意义转化bFaFxFdxxfbaba函数，区间（区域对称）不定积分1．定积分（直接利用bFaFxFdxxfbaba的条件：一般为闭区间上的连续函数。注意区别有瑕玷的广义积分）①换元法：真的换元时，一定对应换上、下限。xdxx3sin13cos233②对称区间上奇、偶函数的利用③区间的可加性dxxee1ln6④可变上限的定积分的导数可变上限函数本身在闭区间上的性质：连续，有界，可积，可导。i）利用下述公式求导数xuxufxvxvfdttfdxdxvxu)()(ii）利用上述公式求极限iii）利用上述公式求某些可变上限函数的极值，最值。2．广义积分①注意找出瑕玷：被积函数中分母=0且不能约分的点。注意瑕玷的处理。dxx111②收敛性的判断：只有两个都收敛，广义积分才收敛。③综合题会涉及含有参数的广义积分，收敛性讨论时，要对参数讨论。3．二重积分：一条线原则（上下、左右、里外即从小到大）特点：1）最外层上下限：常数2）里面一层上下限：可以有函数，是关于外层积分变量的函数；3）两层积分限都是常数的充要条件：直角坐标对应区域为水平放置的矩形；7极坐标中对应区域为以极点为圆心的圆；①坐标系的选取：直角坐标，极坐标rdrdrrfDsin,cos②X—型，Y—型的选取③由积分的难易，常用交换积分顺序的方法，完成二重积分的证明题。a)由已知写出区域的不等式组b)由不等式组画出区域的图形c)由区域的图形，换种投影方式，写出不等式组d)由新的不等式组写出二重积分，化简即可。4．偏导数，全微分的计算①对哪一变量求偏导，哪一变量看作变量，其它的全部看成常数，用导数对应的求导法则。②求一阶偏导时，显函数时直接用上述方法隐函数时用公式：zyx,,均是独立的zyzxFFyzFFxz③求二阶偏导时，显函数时直接利用上述结果用同样方法继续求偏8导。隐函数时，不再利用公式，zyx,,不再独立，而将z看成yx,的函数，用一元函数隐含数求导法。四．证明主要题型1．证明关于偏导数的方程2．证明关于二重积分的方程（交换积分次序）3．利用定积分的中值定理，解决一些综合题。五．应用题主要题型：1.求平面图形的面积及其绕某一轴旋转后旋转体的体积。面积：可据图形，选择积分变量X—型，Y—型①利用定积分求解②利用二重积分dxdyD旋转体：绕哪一轴，哪一个为积分变量，不能人为选取。2.求二元函数的极值，最值。二元函数极值的判定法。3.利用二重积分求曲顶柱体的体积。4.偏导数在经济学上的应用5.全微分在近似计算中的应用