微积分方法建模5万有引力定律的发现--数学建模案例分析

微积分方法建模数学建模案例分析§5万有引力定律的发现历史背景德国天文学家、数学家开普勒（1571—1630）在第谷.布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上，经过对观测数据长期深入的分析，归纳出著名的所谓行星运动三定律，即：（1）各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上；（2）每颗行星运行过程中单位时间内太阳—行星向径扫过的面积是常数；（3）各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的3次方成正比。由于当时尚没有计算变速运动的工具，而从开普勒定律可以看出行星运行速度是变化的。十七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究，终未得到有关引力的结果。牛顿在研究变速运动过程中发明了微积分，又以此为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，成功地得到万有引力定律。模型假设对任一行星椭圆运行轨道建立极坐标系),(r,以太阳为坐标原点，长半轴方向为0，向径r表示行星的位置。1、轨道方程为)1(,,cos12222eababer（1）其中ba,为椭圆的长短半轴，e为离心率。2、单位时间内向径r扫过的面积是常数A，即Ar221（2）3、行星运行周期T满足32aT（3）4、行星运行时受的作用力f等于行星加速度r和质量m的乘积，即rmf（4）模型建立引入基向量cossinsincosjiujiur（5）向径r可表示为：rurr。以下记dtd（6）由（5）可得rruuuu（7）由（6）、（7）两式可得ururururrrrr（8）)(0太阳行星uru微积分方法建模数学建模案例分析urrurrurururururrrrr22（9）根据（2）式得22rA，34rrA（10）于是02rr，（9）式化为rurrr2（11）对（1）式求导，并利用（10）式的结果，得sin2cos1sin2Aeer（12）32224cos4cos2rrAreAAer（13）把（10）、（13）代入（11）式得rurAr224（14）把（14）、（6）代入（4）式得0224rrmAf,rrr0（15）又由（2），行星运行一个周期T向径扫过的面积为ab，所以abTA（16）由（1）、（3）、（16）式容易算出22A（17）把（17）代入（15）式有0224rrmf（18）将24写成kM（k为万有引力常数，M为太阳质量），于是02rrMmkf（19）模型验证由于32aT，232244Ta，米111049.1a，（秒）¨1016.37T，2311/1071.6秒千克米k，千克＝301096.1M，可算得192321007.134Ta，191015.13kM，验证了kMTa2324。