微积分方法建模9如何预报人口的增长--数学建模案例分析

微积分方法建模数学建模案例分析§9如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们常在报刊上看见关于人口增长的预报，而且你可能注意到不同的报刊对同一时间同一国家或地区的人口预报在数字上常有较大的差别，这其实是由于使用了不同的人口模型计算的结果。建立人口模型的意义在于利用模型中的参数及时控制人口的增长。模型一Malthus指数增长模型英国人口学家malthus根据百余年的人口统计资料，于1787年提出著名的指数增长模型。假设1、某国家或地区在时刻t的人口)(tx为连续可微函数；2、人口的增长率r是常数，或者说，单位时间人口的增长量与当时的人口成正比。建模记0x为初始时刻)0(t的人口，由假设2，t到tt时间内的人口增量为ttrxtxttx)()()(易导出下面的微分方程0)0(xxrxdtdx求解易解出)0()(0rextxrt分析模型与19世纪以前欧洲一些地区和国家的人口增长率长期稳定不变的人口统计数据可以很好地吻合，但是与19世纪以后许多国家的人口统计资料却有很大差异。出现这种差异的原因是19世纪以后人口的增长率已不再是常数。比如美国19世纪100年的10年增长率0.266，20世纪80年的10年增长率0.137，而1970至1980年的10年增长率为0.0307。模型二Logistic阻滞增长模型假设1、同模型一；2、当人口增加到一定数量后，增长率随着人口的继续增加而逐渐减少，且)(xr为x的线性函数sxrxr)()0,(sr，其中r相当于0x时的增长率，称固有增长率；3、自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx，称最大人口容量。建模当mxx时增长率应为0，即0)(mxr，从而mxrs，于是)1()(mxxrxr，其中r，mx是根据人口统计数据确定的常数。mx常由经验确定。仿模型一同样得0)0()1(xxxxxrdtdxm微积分方法建模数学建模案例分析求解trmmexxxtx)1(1)(0表美国的实际人口与按两种模型计算的人口的比较年实际人口)10(6指数增长模型阻滞增长模型)10(6误差(%))10(6误差(%)179018001810182018301840185018601870188018901900191019201930194019501960197019803.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.57.310.013.718.725.635.047.865.589.6122.5167.6229.31.44.26.29.410.310.823.830.542.461.282.1115.39.713.017.423.030.238.149.962.476.591.6107.0122.0135.9148.2158.8167.61.00.81.8-0.9-3.8-1.3-0.6-0.80.7-0.40.5-1.03.2-1.7-11.4-17.8分析1、模型表明人口增长率dtdx随着人口数x的增加先增后减，在2mxx处达到最大；且当t时，mxx。2、模型在本世纪初曾被广泛使用，且预报效果很好，如预报美国人口时，66010179,31.0,109.3mxrx。但1960以后误差越来越大，究其原因是1960年美国实际人口已突破用过去数据确定的mx（它是用1800—1930的数据估计的），由此可知，模型的缺点之一是mx不易准确地得到。