微积分期末考题

12002-2003学年，微积分（二）（A）一、选择题（每小题只有一个正确的选项，每小题3分，共计12分）1．函数f(x,y)在),(00yx处存在偏导数是f(x,y)在),(00yx处_______________的必要条件。（A）连续，（B）存在极限，（C）存在极值，（D）可微分2．函数f(x)在[0,a]上连续，那么adxxf0)(=______________（A）20)]()([adxaxfxf，（B）20)]()([adxxafxf，（C）20)]()([adxaxfxf，（D）20)]()([adxxafxf3．设级数1nna条件收敛，那么级数12||nnnaa_______________（A）条件收敛，（B）绝对收敛，（C）发散，（D）敛散性不能确定4．函数f(x,y)在区域}0,1|),{(22yyxyxD上连续，则Ddxdyyxf)(22=_______________（A）10)(drrf，（B）10)(drrrf，（C）10)(2drrf，（D）10)(2drrrf二、填空（每小题3分，共18分）1．曲线xeyxy)1(,ln和y=0所围平面图形的面积为_______________2．设yxyyxyxf1sin)1()1cos(),(2，则)1,(xxf=_________________________，),1(yyf=_______________________3．极限xyxyyx42lim00=_______________4．积分0dxxex=_________________5．设f的偏导存在，则xbxafbxafx),(),(lim0=_________________6．交换积分顺序1441410),(),(xxxdyyxfdxdyyxfdxI=_________________三、计算题（共40分）1．（5分）求函数)1ln(4222yxyxz的定义域并画出草图22．（5分）211dxxx3．（8分）已知,0)0(,)1arctan()(2yxxy求10)(dxxy4．（5分）设),(2yxyefzx，且函数f具有二阶连续的偏导数，求yxz25．（6分）判断级数112sin)1(nnnn的敛散性，如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？6．（6分）求重积分Dyxde，其中}10,1|),{(xxyyxD7．（5分）求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值四、证明题（12分）1．（5分）设z是由方程0,zyzxF所确定的x,y的函数，F是可微函数，证明：zyzyxzx2．（7分）设20),1ln(01,)(2xxxxxf，求xdttfx1)()(在]2,1[上的表达式五、（10分）设函数f(x)在),0[上连续，单调不减且0)0(f，试证函数0,00,)(1)(0xxdttftxxFxn在),0[上连续且单调不减（其中n0）六、应用题（8分）设生产某种产品的数量Q（单位：万元）与所用的两种原料A，B数量x,y（单位：t）间有关系yxyxQ2005.0),(，欲最多用150万元购料，已知A，B原料的单价为1万元、2万元，问购进两种原料各多少可使生产的数量最多？2003-2004学年，微积分（二）（B）一、判断题（每小题2分，共计12分）1．对任何实数a，等式aadxxafdxxf00)()(总成立。（）2．112322)1||2(dxxx（）33．已知),(bayf存在，则),(2),(),(lim0bafyybafybafyy（）4．若二元函数z=f(x,y)在点),(00yxP不可微，则z=f(x,y)在点),(00yxP的两个偏导数yzxz,不存在。（）5．若级数1nnu收敛，则级数12nnu一定收敛。（）6．若正项级数1nnu收敛，则必有1lim1nnnuu（）二、选择题（每小题2分，共12分）1．设f(x)连续，则xdttxtfdxd022)(=_______________（A）)(2xxf，（C）)(22xxf，（D）)(22xxf2．幂级数1)12(nnnxa在x=2处收敛，则级数1)2(nnna_______________（A）绝对收敛，（B）条件收敛，（C）发散，（D）收敛性不能确定3．设函数z=f(x,y)在(0,0)处存在偏导数，且0)0,0(,0)0.0(,0)0,0(fffyx那么_______________（A）),(lim00yxfyx必定存在，（B）f(x,y)在(0,0)处必连续，（C）dz=0，（D）若0),(lim2200yxyxfyx，则dz=04．设线性无关函数321,,yyy是二阶非齐线性微分方程)()()(xfyxqyxpy三个解，则该方程的通解为_______________（A）32211yycyc，（B）)()(322311yycyyc，（C）3212211)1(yccycyc，（D）3212211)1(yccycyc（21,cc为任意常数）5．广义积分0dxekx收敛，则____________（A）0k，（B）0k，（C）0k，（D）0k46．设级数12nnu收敛，则1)1(nnnnu_______________（A）发散，（B）条件收敛，（C）绝对收敛，（D）敛散性不能判定三、填空题（每小题2分，共12分）1．已知dxex2，则dxex3)1(2=______________2．部分和数列}{ns有界是正项级数1nnu收敛的_________条件，是任意项级数1nnu收敛的_________条件。3．级数0)1(nnnxa的收敛域为]3,1[，则02nnnxa的收敛域为______________4．设yxxyez，则11yxdz________________5．曲线xxeyey,，和直线x=1所围图形的面积为______________6．方程02yyy的通解为_______________四、计算题（1-6题每题5分，7、8题每题7分，共44分）1．求102)2()1ln(dxxx2．设),(2xyyxyfz，求yxz2（其中f二阶可微）3．计算二重积分2202xydyedx4．计算二重积分12222221)(yxdxdyyxyx5．求方程322xyy的通解6．讨论级数111nna（a0）的敛散性7．将函数231)(2xxxf展开成（x+4）的幂级数8．求幂级数122212nnnxn的收敛域，及在收敛区间上的和函数5五、（10分）求由方程010422222zyxzyx确定的函数z=f(x,y)的极值。（z0）六、证明题（每题5分，共计10分）1．设数列}{2nan收敛，证明级数1nna绝对收敛2．证明等式：xxuduufuxdudxxf000)()()(。其中f(x)在所考虑的积分区间上连续。2002-2003学年，微积分（二）（B）部分1．求))ln(ln(xyxz定义域2．exxdx12ln13．0)0(,)1arcsin()(2yxxy，求10)(dxxy4．),(2yxyefzx且f有二阶连续偏导，求yxz25．判断11)23)(23()12ln()1(nnnnn绝对收敛？条件收敛？发散？6．求Dxydye，}21,21|),{(xyxyxD7．23),(33xyyxyxf，求极值8．)(22yxFyz，F任意可导，证211yzyzyxzx9．f(x)在[0,1]连续，且f(x)1，证方程1)(20xdttfx在(0,1)内有且仅有一个根10．0,0,)()(0xaxxdttfxFx其中f连续，且1)(lim0xxfx（1）定a，使F(x)在x=0连续（2）证明：当F(x)在x=0连续时，)(xF在x=0也连续611．已知有两要素投入21,xx，生产函数322311212),(xxxxQ，设要素价格为1,421pp，求当Q=12时两要素投入可使总费用最小。另外几个题1．),(yxfz在（1,1）点可微，且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(21fff。令)),(,()(yxfxfx，求13)(xxdxd的值。（答：51）2．f(x)连续，10)()(dttxfx，且2)(lim0xxfx。求)(x并讨论)(x在x=0处的连续性。（答：1，连续）3．f(x)有连续导数，f(0)=0，0)0(f，xdttftxxF022)()()(，且当0x时，)(xF与kx是同阶无穷小，求k的值。（答：3）