微积分学大型案例分析求解

结束语微积分学大型案例分析求解在本学期开学的第一堂课中，我们提出了一个大型案例。现在我们根据本学期我们学过的相关知识来解决。引例：一只游船上有800人，一名游客不慎患传染病，12小时后有3人发病，由于船上不能及时隔离，问经过60小时、72小时，患此传染病的人数有多少？结束语•此问题实际上与人口增长问题基本一致。为此引入介绍人口增长问题模型。•相关背景及模型介绍：•认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，长期以来人们在这方面作了不少的工作。•18世纪末，英国人口学家马尔萨斯（Malthus，1766——1834）对百余年的人口统计资料进行了研究，于1798年提出人口指数增长模型。他的基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。结束语设时间时的人口总数为，则根据马尔萨斯假设，在时间时人口总数为，从到时间内，人口增长。令，得到满足微分方程这是一个可分离变量的微分方程，容易解得满足初始条件的解为时，（1）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。0tt)(tx0xttttttrxtxttx)()()(0t)(txrxdtdx00)(xtx)(00)(ttrextx0r结束语•根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年人口平均增长率为14.8‰，利用上式，将，，代入，可以得到2000年我国人口总数为•（亿）•得出的结果与实际情况基本吻合。•但是当时，，这是不可能的。•从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预2000t19900t0148.0r45.136.11)2000()19902000(0148.0ext)(tx结束语•测较长时期的人口演变过程。随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口的增长的限制越来越显著，人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。•为此，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。•荷兰生物数学家Verhulst在19世纪中叶提出了阻滞增长模型，也称逻辑斯蒂（Logistic）模型。结束语•用表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数，并假定净增长率等于，即净增长率随着的增加而减少，当时，净增长率趋向于零。这样，指数模型中的微分方程变为•解得mx))(1(mxtxr)(txmxtx)(xxxrdtdxm)1(00)(xtxrtmcexxx11结束语•利用初始条件可得，•所以•容易看出，当时，。下图（一）是逻辑斯蒂（Logistic）模型的大致图形。)(00)(00001ttrmttrmexxxexxmxx)(00)1(1ttrmmexxxxtmxtx)(结束语结束语•逻辑斯蒂（Logistic）模型不仅能够大体上描述人口的变化规律，而且对自然环境保护区中的野生动物的增长情况、森林中的树木的增长情况、耐用消费品的售量等都可以用它来描述。如假定今年在某保护区放入野生动物20只，若被精心照料，预计野生动物增长规律满足，在年内，其总数为ttx)83.0(101220结束语•当保护区中野生动物达到80只时，没有精心的照料，野生动物也将会进入正常的生长状态，即其群体增长仍然符合上述表达式中的增长规律。现在的问题是：•（1）需要精心照料的期限为多少年？•（2）在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？结束语•将代入可以得到•解得（年）•又当，。•所以，只需精心照料9年，这个保护区最多能供养220只野生动物。80x75.2)83.0(101t9tt220x结束语有了此相关背景几知识，我们可解决前面提出的引例。•解设表示发现首例病人后小时的感染人数，则表示此时未受感染的人数，由题意知。•根据常理，当感染人数很小时，传染病的传播速度较慢，因为只有很少的游客能接触感染者；当感染人数很大时，未受感染的人数很小，即只有很小的游客能被感染，所以此时传染病的传播速度也很慢，排除上述两种极端的情况，当有)(tyt)(800ty3)12(,1)0(yy)(ty)(ty)(800ty结束语•很多的感染者及很多的未感染者时，传播速度很快。因此，传染病的发病率，一方面受感染人数的影响，另一方面也受未感染人数的制约。•根据以上分析，得•解得•这属于逻辑斯蒂（Logistic）模型。)800(ykydtdyktcety8001800)(结束语•由条件可得所以令，得又令，得。3)12(,1)0(yy799c09176.0800ktety09176.07991800)(60t188)60(y72t385)72(y结束语•由上我们可以看出，在72小时被感染的人数将是60小时感染人数的近2倍。•可见，在传染病流行时，及时采取措施是相当重要的。