微经十八讲第二讲

第二讲间接效用……1平新乔《微观经济学十八讲》答案EatingNoodles第二讲间接效用函数与支出函数1设一个消费者的直接效用函数为21lnqqau．构造出该消费者的间接效用函数．并且运用罗尔恒等式去构造其关于两种物品的需求函数．验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的．解：该消费者的最大化问题是yqpqptsqqaqq221121,..)ln(max21需求函数为121papq，222papyq．消费者的间接效用函数为221221ln,,,),(papypapayqyquyvppp，由罗尔恒等式，有12221221111papppapappayvpvq，22222121221papyppypaappayvpvq．这与从直接效用函数中推得的结果一致．[注]这里的p是向量21,pp，以后的向量均用黑体表示，以与表示分量的符号相区别．2某个消费者的效用函数是22121),(xxxxu，商品1和2的价格分别是1p和2p，此消费者的收入为m，求间接效用函数和支出函数．解：该消费者的最大化问题是第二讲间接效用……2mxpxptsxxxx2211221,..max21得到需求函数1132pmx，223pmx．由此得到间接效用函数221332),(pmpmmvp．又消费者效用最大化意味着mvem,,pp，记mvu,p，可得到支出函数31221223,uppuep．3考虑下列间接效用函数2121,,ppmmppv，这里m表示收入，问：什么是该效用函数所对应的马歇尔需求函数),,(21*1mppx与),,(21*2mppx解：根据罗尔恒等式，可以得到这个效用函数所对应的马歇尔需求函数：2121221111ppmppppmyvpvx，2121221121ppmppppmyvpvx．[注]这个间接效用函数揭示的是完全互补的偏好．在这样的偏好下，所有商品的消费量都是相等的．典型的情况就是鞋底跟鞋帮的关系．4考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三成事中选择居住地．假定他的选择决策只根据其效用函数，设该效用函数的形式为21xxu，这里221,Rxx．已知北京的物价为aapp21,，上海的物价为bbpp21,，并且bbaapppp2121，但babapppp2211,．又知广州的物价为第二讲间接效用……3babaccpppppp22112121,21,．若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？解：设老人的收入为m，那么老人在北京、上海、广州居住的间接效用分别为41221mppViii，cbai,,．由bbaababababaccpppppppppppppp2121221122112141，所以bacVVV．因此老人不会选择去广州生活．55.1设21xxu，这里221,Rxx，求与该效用函数想对应的支出函数uppe,,21．解：支出最小化问题是uxxtsxpxpxx212211,..min21其拉格朗日函数为：)(.,;21221121xxuxpxpxxL．使)(L最小化要求,,21xx满足一阶条件0211xpxL，10122xpxL，2021xxuL．3由1式、2式，得12px，21px；4代4入3，得uppppu212210；5代5入4，得212ppux，121ppux；于是可以得到对应的支出函数第二讲间接效用……4uppxpxpuppe212211212,,．5.2又设21lnln~xxu，同样221,Rxx，求与该效用函数想对应的支出函数uppe~,,~21解：解法与5.1完全相同，得到uppuppe~exp2~,,~2121．[注]u~exp即为ue~，这样写一是为了节省空间，再有可以和支出函数e区别开来．5.3证明：uppeuppe,,~,,~2121证明：uppuppuppuuxxuxxu21212121212lnexp2~exp2ln~lnln~根据5.1与5.2的结果，得到uppeuppe,,~,,~2121．6设某消费者的间接效用函数为12121,,ppmmppv，这里10．什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？解：若消费束x是消费者的最优选择，那么根据引理一，间接效用函数与支出函数存在以下关系mvem,,pp，1记mpvu,，由该消费者的间接效用函数，得到121ppum．2由1式和2式，得到121,,ppumvepp．因此，由Shepard引理，得到12111ppupexh，21221ppupexh．7考虑含n种商品的Cobb-Douglas效用函数niiixAu1x这里，0A，nii11第二讲间接效用……57.1求马歇尔需求函数解：约束条件为yxp．做u的单调变换niiixAuw1lnlnln，最大化的一阶条件为0jjpxw，即jjjpx，nj,,2,1．代入约束yxp，得到yynii11[注意已知11nii]，因此需求函数为jjjpyx，nj,,2,1．[注]作单调变换后，计算得到简化．[注]yxp是yxpT的另一种写法，在经济学中使用较多．用分量来表示，即为yxpniii1．下同．7.2求间接效用函数解：根据7.1的结果yypyAyuyvniiiniii11,,pxp，其中iniiipA1．7.3计算支出函数解：令yyvu),(p，得到uy；又由),,(yveypp，得到uue,p．7.4计算希克斯需求函数解：根据Shepard引理和7.3的结果，得到希克斯需求函数jjjhjpupex，nj,...,3,2,1．8以Cobb-Douglas效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数．第二讲间接效用……6说明：这道题我的理解是，说明在效用最大化问题中解得的马歇尔需求函数和支出最小化问题中解得的希克斯需求函数在．函数．．值上．．是相等的．解：令效用函数形式为niiixAu1x，其中nii11，0A．预算约束为yxp．求解效用最大化问题得到的马歇尔需求函数为[见7.1]jjjpyx，nj,...,3,2,1．求解支出最小化问题得到希克斯需求函数jjniiijjhjpupApuxi11，nj,...,3,2,1；对任一个j，代niiixAu1x入上式得到nijjiiihjpxpxi1，代上式入预算约束yxp得iiiniiiinjjniiiinjjjniiiijxpxppxppy11111；代上式入希克斯需求函数得到nijjjjiiihjpypxpxi1，nj,...,3,2,1．它们在．函数．．值上．．与相应的马歇尔需求函数相等．9下列说法对吗？为什么？函数21)(),(upupxxxhj可以作为某种商品的希克斯需求函数．答：不对．因为这个函数中，希克斯替代效应02121uppxjjhj．10下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？222,,yxxyxppIpIppx这里，x与y是两种商品，I为收入．答：要具体分析．一般要求马歇尔需求函数满足（1）yxp，以及（1）函数是p和y的零次齐次函数．很明显，该需求函数满足第二个条件．第二讲间接效用……7考虑第一个条件，如果能将yx,定义在2R上，那么该函数能对于所有的价格向量成为一个马歇尔需求函数；如果只能将yx,定义在2R上，那么它只能对于满足yxpp的价格向量成为一个马歇尔需求函数．[注]我在所有的解答里面都将价格向量定义为严格正，这与一般的规定相同．另外，尽管很多题目都假设需求非负，但某些情况下需求却不一定要满足非负的限制．任何题目都有前提，把它们说明白了，应该不会有问题．