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第四章生产论1.下面(表4—1)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表4—1可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量122103244125606677080963(1)在表中填空。(2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答：(1)利用短期生产的总产量(TP)、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表4—2所示：表4—2可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量12222126103248124481224560121266611677010487070/809637－7(2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表4—2可见，当可变要素的投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。2.用图说明短期生产函数),(KLfQ的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的特征及其相互之间的关系。解答：短期生产函数的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线的综合图如图4—1所示。图4—1由图4—1可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MPL曲线呈现出先上升达到最高点A以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的MPL曲线出发，可以方便地推导出TPL曲线和APL曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。关于TPL曲线。由于MPL＝dTPL/dL，所以，当MPL＞0时，TPL曲线是上升的；当MPL＜0时，TPL曲线是下降的；而当MPL＝0时，TPL曲线达最高点。换言之，在L＝L3时，MPL曲线达到零值的B点与TPL曲线达到最大值的B′点是相互对应的。此外，在L＜L3即MPL＞0的范围内，当MP′L＞0时，TPL曲线的斜率递增，即TPL曲线以递增的速率上升；当MP′L＜0时，TPL曲线的斜率递减，即TPL曲线以递减的速率上升；而当MP′＝0时，TPL曲线存在一个拐点，换言之，在L＝L1时，MPL曲线斜率为零的A点与TPL曲线的拐点A′是相互对应的。关于APL曲线。由于APL＝TPL/L，所以，在L＝L2时，TPL曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。该切线是由原点出发与TPL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是APL的最大值点。再考虑到APL曲线和MPL曲线一定会相交在APL曲线的最高点。因此，在图4—1中，在L＝L2时，APL曲线与MPL曲线相交于APL曲线的最高点C′，而且与C′点相对应的是TPL曲线上的切点C。3.已知生产函数Q＝f(L，K)＝2KL－0.5L2－0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量TPL、劳动的平均产量APL和劳动的边际产量MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？解答：(1)由生产函数Q＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K＝10，可得短期生产函数为Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TPL＝20L－0.5L2－50劳动的平均产量函数：APL＝TPL/L＝20－0.5L－50/L劳动的边际产量函数：MPL＝dTPL/dL＝20－L(2)关于总产量的最大值：令MPL＝dTPL/dL＝0，即dTPL/dL＝20－L＝0解得L＝20且eq\f(d2TPL,dL2)＝－1＜0所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量TPL达到极大值。关于平均产量的最大值：当MPL＝APL时，平均产量APL最大，代入有关参数可得20－0.5L－50/L＝20－L，即－0.5＋50L－2＝0解得L＝10(已舍去负值)且eq\f(d2APL,dL2)＝－100L－3＜0所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量APL达到极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MPL＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MPL达到极大值。(3)当劳动的平均产量APL达到最大值时，一定有APL＝MPL。由(2)已知，当L＝10时，劳动的平均产量APL达到最大值，即相应的最大值为APLmax＝20－0.5×10－50/10＝10将L＝10代入劳动的边际产量函数MPL＝20－L，得MPL＝20－10＝10。很显然，当APL＝MPL＝10时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L＝10。4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。5.已知生产函数为Q＝min{2L，3K}。求：(1)当产量Q＝36时，L与K值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为PL＝2，PK＝5，则生产480单位产量时的最小成本是多少？解答：(1)生产函数Q＝min{2L，3K}表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q＝2L＝3K。因此，当产量Q＝36时，相应地有L＝18，K＝12。(2)由Q＝2L＝3K，且Q＝480，可得L＝240，K＝160又因为PL＝2，PK＝5，所以有C＝PL·L＋PK·K＝2×240＋5×160＝1280即生产480单位产量的最小成本为1280。6.假设某厂商的短期生产函数为Q＝35L＋8L2－L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处于短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝Q/L＝35＋8L－L2边际产量函数：MP(L)＝dQ/dL＝35＋16L－3L2(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP。于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0。于是，有35＋16L－3L2＝0。解得L＝eq\f(5,3)和L＝7。L为负值不合理，舍去，故取L＝7。由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]，即当4≤L≤7时，企业处于短期生产的第二阶段。所以，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的第二阶段，属于合理的决策区间。7.假设生产函数Q＝3L0.8K0.2。试问：(1)该生产函数是否为齐次生产函数？(2)如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？解答：(1)因为Q＝f(L,K)＝3L0.8K0.2,所以f(λL，λK)＝3(λL)0.8(λK)0.2＝λ0.8＋0.23L0.8K0.2＝λ·3L0.8K0.2＝λ·f(L，K)＝λQ故而，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。(2)因为生产函数为Q＝3L0.8K0.2MPL＝dQ/dL＝3K0.2×0.8L-0.2＝2.4L－0.2K0.2MPK＝dQ/dK＝3L0.8×0.2K-0.8＝0.6L0.8K－0.8所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为MPL·L＋MPK·K＝2.4L－0.2K0.2·L＋0.6L0.8K－0.8·K＝2.4L0.8K0.2＋0.6L0.8K0.2＝3L0.8K0.2可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。8.假设生产函数Q＝min{5L,2K}。(1)作出Q＝50时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例的生产函数，其等产量曲线如图4—2所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K/L＝5/2。图4—2当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相应的Q＝50的等产量曲线如图4—2所示。(2)由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSLK＝0。(3)因为Q＝f(L，K)＝min{5L,2K}f(λL，λK)＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K}所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。9.已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝ALαKβ。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为Q＝f(L，K)＝ALαKβf(λL，λK)＝A(λL)α(λK)β＝λα＋βALαKβ所以当α＋β1时，该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1时，该生产函数为规模报酬不变；当α＋β1时，该生产函数为规模报酬递减。10.已知生产函数为(a)Q＝5L1/3K2/3；(b)Q＝KL/K＋L；(c)Q＝KL2；(d)Q＝min{3L，K}。求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。(2)当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答：(1)(a)关于生产函数Q＝5L1/3K2/3。MPL＝5/3L-2/3K2/3MPK＝10/3L1/3K-1/3由最优要素组合的均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，可得5/3L-2/3K2/3＝10/3L1/3K-1/3＝PL/PK整理得K/(2L)＝PL/PK即厂商长期生产的扩展线方程为K＝2PLL/PK(b)关于生产函数Q＝KL/K＋L。MPL＝(K(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝K2/(K＋L)2MPK＝(L(K＋L)－KL,(K＋L)2)＝L2/(K＋L)2由最优要素组合的均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，可得K2/(K＋L)2/L2/(K＋L)2＝PL/PK整理得K2/L2＝PL/PK即厂商长期生产的扩展线方程为K＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq\f(1,2)·L(c)关于生产函数Q＝KL2。MPL＝2KLMPK＝L2由最优要素组合的均衡条件MPL/MPK＝PL/PK，可得eq\f(2KL,L2)＝eq\f(PL,PK)即厂商长期生产的扩展线方程为K＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,2PK)))L(d)关于生产函数Q＝min(3L，K)。由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L＝K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K＝3L。(2)(a)关于生产函数Q＝5Leq\f(1,3)Keq\f(2,3)。当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，由其扩展线方程K＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2PL,PK)))L得K＝2L代入生产函数Q＝5Leq\f(1,3)Keq\f(2,3)得5Leq\f(1,3)(2L)eq\f(2,3)＝1000于是，有L＝eq\f(200,\r(3,4))，K＝eq\f(400,\r(3,4))。(b)关于生产函数Q＝eq\f(KL,K＋L)。当PL＝1，PK＝1，Q＝1000时，由其扩展线方程K＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PL,PK)))eq\f(1,2)L得K＝L代入生产函数Q＝eq\f(KL,K＋L)