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•15工程问题•【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。•【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。•工作量＝工作效率×工作时间•工作时间＝工作量÷工作效率•工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）•例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？•。1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要6天完成•例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？（1）每小时甲比乙多做多少零件？24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）（2）这批零件共有多少个？7÷（1/6－1/8）＝168（个）解二两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个）•例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60÷12＝560÷10＝660÷15＝4因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）答：还需要5小时才能完成。•例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？•解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。•要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。•我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1•即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知•一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15•又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，•所以，2小时内注满一池水•至少需要多少个进水管？（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）•答：至少需要9个进水管。•16正反比例问题•【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。•两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。•【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。•【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。•正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。•例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解由条件知，公路总长不变。原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）答：这条公路总长3600米。•例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13答：91分钟可以做13道应用题。•例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系设X天可以看完，就有24∶36＝X∶1536X＝24×15X＝10答：10天就可以看完。•17按比例分配问题•【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。•【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。•总份数＝比的前后项之和•【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。•例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解总份数为47＋48＋45＝140一班植树560×47/140＝188（棵）二班植树560×48/140＝192（棵）三班植树560×45/140＝180（棵）答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。•例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？解3＋4＋5＝1260×3/12＝15（厘米）60×4/12＝20（厘米）60×5/12＝25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。•例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。•解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶29＋6＋2＝1717×9/17＝917×6/17＝617×2/17＝2答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊。•例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？••。解80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）答：三个车间一共820人•18百分数问题•【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。•在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。•【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：•百分数＝比较量÷标准量•标准量＝比较量÷百分数•【解题思路和方法】•一般有三种基本类型：•（1求一个数是另一个数的百分之几；•（2已知一个数，求它的百分之几是多少；•（3已知一个数的百分之几是多少，求这个数。•例1仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？•解（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90%答：用去了10%，剩下90%。•例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？•解本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%或者1－420÷525＝0.2＝20%答：男职工人数比女职工少20%。•例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？•解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此•（525－420）÷420＝0.25＝25%•或者525÷420－1＝0.25＝25%•答：女职工人数比男职工多25%。•例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？•解（1）男职工占420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%•（2）女职工占525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%•答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%。•例5百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：•增长率＝增长数÷原来基数×100•合格率＝合格产品数÷产品总数×100%•出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%•缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%•发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%••成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%•出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%•出油率＝油的重量÷油料重量×100%•废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%•命中率＝命中次数÷总次数×100%•烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%•及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%•20鸡兔同笼问题•【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。•【数量关系】第一鸡兔同笼问题：•假设全都是鸡，则有•兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）•假设全都是兔，则有•鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）•第二鸡兔同笼问题：•假设全都是鸡，则有•兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）•假设全都是兔，则有•鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）•【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。•例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解假设35只全为兔，则•鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）•兔数＝35－23＝12（只）•也可以先假设35只全为鸡，则•兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）•鸡数＝35－12＝23（只）•答：有鸡23只，有兔12只。•例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？•解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有•白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）•答：白菜地有10亩。•例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）日记本数＝45－15＝30（本）•例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？•解假设100只全都是鸡，则有•兔