小学数学教材“解决问题”编排体系的比较

1小学数学教材“解决问题”编排体系的比较研究——以苏教版和人教版为例摘要:各国课程标准中都将“数学问题解决教学”置于重要位置。我国新课程的实施不仅仅是教材的更新、教学大纲的调整，也是课程及教学理念的转换。《数学课程标准》中，将“解决问题”列为数学教育的四大目标之一。基于新课改理念，编者们以“解决问题”代替传统的应用题，对应用题不再强调人为的归类，而是将“解决问题’进行分散编排和集中编排相结合。这绝不仅仅是名称上的变化。弄清楚这其中变化的实质，有助于我们更好地继承应用题教学宝贵的、成功的经验，也有助于我们更好地展开解决问题的教学。目前，全国有代表性的人教版和苏教版的小学数学教材，“解决问题”集中编排的编写风格迥异。本文通过编排体系、内容编排特点以及问题解决内容编排建议三个维度，对两个版本“解决问题”集中编排的版块进行教材比较。关键词:小学数学教材；解决问题；集中编排；比较研究一、问题解决内容的编排体系1.“数学广角、解决问题的策略与找规律”的教材比较（1）编排体系的比较由于两个版本的内容较多且大都不相同，为了便于比较，笔者将编排体系以年级所对应的内容以及主要知识点进行整理归纳，并制成2表一和表二：表一人教版“数学广角和找规律”的编排体系年级内容主要的数学思想方法一下找规律:探索图案和数字简单的排列规律符号化思想方法、有序思维二上数学广角:1.简单的排列:1,2能组成几个两位数?2.简单的逻辑推理:猜一猜他们拿的是什么书?排列组合思想方法、逻辑推理思维二下找规律:1.铺地砖花纹的规律2.等差数列的探究规律数形结合思想有序思维三上数学广角:1.搭配问题:有几种不同的穿法?踢几场球?2.简单的排列:3个数字能摆成几个三位数?排列组合思想方法三下数学广角:1.重叠问题:参加语文、数学小组的共几人?2.等量代换:几个苹果与1个西瓜一样重?集合思想等量代换思想四上数学广角:1.运筹问题:烙饼、沏茶、码头卸货等问题2.对策问题:田忌赛马。运筹思想、对策方法论、优化思想四下数学广角:植树问题:两端都种、两端都不种、封闭方阵中种树等。植树问题的思想方法、转化的思想方法五上找规律:皮筋长度和课本数的关系。函数思想数学广角:数字编码:邮政编码、身份证编数字编码思想3码、编学号等。五下找规律:怎样花最少的时间打电话通知最多的人。优化思想转化的思想方法数学广角:找次品:5件、9件物品中用最少的次数找到次品。六上数学广角:鸡兔同笼问题假设法六下数学广角:抽屉原理:4支铅笔放入3个文具盒、5本书放入2个抽屉，怎么放?抽屉原理表二苏教版“解决问题策略和找规律”的编排体系年级教学内容和渗透的策略方法四上1.会用列表的方法整理简单实际问题所提供的信息，通过列表的过程分析数量关系，寻找解决问题的有效方法。2.发现生活中间隔数与端点之间的不同规律，并运用规律解决生活中的间隔问题。四下1.用画直观示意图、线段图等方法整理相关的信息，能借助所画的直观图或线段图分析实际问题中的数量关系。2.发现简单搭配现象中的规律，能运用发现的规律解决一些生活简单的搭配问题。五上1.能通过不遗漏，不重复的列举找到符合要求的所有答案。2.发现具体现象中的周期规律、对现象的后续发展情况作出判断。4五下1.用“倒过来推想”的策略寻求解决问题的思路，并能根据具体的问题确定合理的解题步骤。2.用平移的方法探索简单图形覆盖现象中的规律，能根据被覆盖的图形的方格个数推算出覆盖的总次数，并能用以解决实际问题。六上会用“替换”的策略去分析数量关系，并能解决相应的实际问题，如鸡兔同笼。六下用转化的方法解决实际问题，如较复杂的分数应用题由表一和表二可见两个版本在编排体系上有明显的异同之处，具体如下:(1)相同点两个版本的内容选取都能够较好地体现数学思维的特点。数学思维的特点是抽象性，在教学中，要引导学生经历抽象化、数学化的过程，培养其数学思维能力。如苏教版教材“画图和列表”的策略能帮助学生把握实际问题里的数学内容，便于学生审题，这正是解决问题的第一步。虽然画图比较直观，表格条理清楚，但这种策略的数学化程度是比较高的，因为画图和列表是通过整理问题的条件、看清数量之间关系的基本方法，能够画出图，或者填入表格里的都是经过筛选后的重要信息和有用数据，实际问题里的许多情节性内容都被过滤掉了，在这个过程中可以培养学生的抽象思维[1]。再如，数学思维的一个重要特点是:数学家很善于使用化归(转化)的方法去解决问题。也就是说，在解决问题时，数学家往往不是对问题进行直接的解决，而是对此进行变形、使之转化，直到最终把它转5化成了某个(或某些)已经解决的问题[2]。因此苏教版有专门的转化策略的单元，人教版在数学广角里也多次有渗透的转化思想。此外还有假设法、替换法以及等量代换其实就是代数思维的启蒙，是进入中学阶段代数思维的基础。(2)不同点①从纵向看:人教版“数学广角和找规律”从一年级到六年级都有所涉及，其中找规律的专题穿插一下，二上、三上和五年级。这样安排的特点是从低段形象具体思维逐步过渡到高段抽象思维，使数学思想方法的渗透呈螺旋上升结构，逐步深入。例如:植树问题是以“图形中的规律”为基础，三上的搭配中的规律是以二上“简单的排列”为基础，而二下的数列和图形中的规律又是建立在一下找规律的基础上的，五下数学广角“找次品”中的优化思想是四上运筹问题中优化思想的进一步深化发展。另外等量代换思想和假设思想又是中学代数思想的雏形等等。而苏教版“解决问题的策略”和“找规律”专题的内容安排都是从四年级上册开始安排的，其中解决问题的策略从四上到六下每册一个专题，四到五年级是技术、技巧性策略，如列表、画图、一一列举、倒推，六年级是比较上位的策略，如假设、转化，而“找规律”的安排是从四上到五下每册一个专题。两个版本在专题数量上的安排总得来说差不多，并且都是按照螺旋上升的结构安排的，但是在安排的具体年级段上有很明显的不同，这是因为:人教版是从渗透数学思想的系统性来安排的，因此每册都6安排一个专题，专题之间的关联性较大。而苏教版考虑到小学生的元认知水平和逻辑思维在中高段发展较快，能对自己的认知策略进行调控，因此才从四年级起将平常解决问题时所用到的策略和找规律的方法进行归纳和提炼。然而虽然苏教版在低段也有相关内容的分散编排，但是可能不易引起教师和学生的重视。国际数学课程发展的趋势也表明，对变化规律、模式的探索和描述应从低年级非正式地开始，早期对变化规律的丰富经历是十分重要的。②从横向看:人教版的“数学广角和找规律”的思维含量和深度相对而言，在一定程度上要高于苏教版的“解决问题的策略和找规律”。苏教版的“解决问题的策略”的内容是比较基础的，并且每次都是侧重一种方法策略，找规律也是比较直观内容的图形规律探索。人教版在低段主要还是一些比较基本和常见的思想方法，如有序的思考，数形结合，等量代换，集合思想，并且都是比较直观的内容。到了高段，人教版的“数学广角和找规律”侧重于介绍与一般常见的解决问题不同的数学思想方法，其中的思维含量比苏教版的“解决问题和找规律”更高，其中有拓宽学生数学视野的如田忌赛马策略，而有些则脱胎于传统的奥数内容，如鸡兔同笼、抽屉原理、找次品，这些往往需要较强的缜密思考和逻辑思维才能正确的解决，并且都要同时运用多种方法策略，如列表、画图、一一列举、转化等。三、问题解决内容编排特点内容编排是指某一具体内容在教材中的编写和安排方式，主要侧重于内容的设计。为了更好地反映出不同版本教材在内容安排上的风7格，本文选取两个版本中的共同内容:以人教版四下数学广角(图4)和苏教版四上“找规律”(图5)为例，两者都是探讨间隔数与端点数的数量关系以及在生活中的应用，来进行内容安排上的比较分析。图4人教版四下“数学广角”人教版:例1讨论的是在校园里的一条小路一边植树，需要多少棵树苗的问题，这是关于一条线段的植树问题。教材用四幅图来呈现学生探索解决问题的讨论过程。先是一个男孩说出可能的答案:100÷5=20，所以要准备20裸树苗。”接着一个女孩问:“对吗?”来引发学生思考。接下来呈现了解决问题常用的方法一一从简单的情况入手解决复杂的问题。这里采用的是画线段图的方式，紧接现规律，然后教材要求应用发现的规律来解决前面的植树问题。最后教材通过小精灵的问题“你是怎么想的?”鼓励学生还有什么其他的方法来检验，保护学生独立思考的能力，体现算法多样化①。在第二部分，教材的例2讨论的是两端都不植树的情况，由于有8了例1的探究过程，教材没有给出探究方法的提示，仅用小精灵提示“可是小路两端是……”，并提供了部分空白的算式，让学生图5苏教版四上找规律苏教版:与人教版不同，在教学传统的植树问题内容之前，先在本单元的第一部分教材中提供了丰富的素材，突出了多样的“找”规律的探究活动，把学习活动设计成三个层次:第一，观察若干个具体现象，体会它们的相同特点，初步感受间隔规律;第二，摆学具，体会规律的必然性。先让学生理解问题具体的一面，数数根数与个数，看看有什么关系，再通过“这些关系与前面发现的规律一致吗”这个问题，让学生体会这两题抽象的一面。这样，学生就经历了从感性认识向理性认识上升的过程，这时他们对规律的认识已具有普遍意义。第三，发展数学的眼光。第48页“想一想”让学生到生活中寻找有这样规律的其他事例②。9在第二部分中，例题2紧接着上个例题的情境，设置兔子排队的问题，并且都配有具体的表征题目数量关系的图片，通过问题串启发学生思考，让学生自主探究，运用自己喜欢的算法，然后再小组交流。接着在练习中又通过做操、放花盆的生活情境，让学生充分体会与间隔现象有关的实际问题是多样的，更深地体会到间隔现象的普遍规律，建立有关植树问题的数学模型。综上所述，两个版本在“植树问题”上的内容安排有以下相同点和不同点:(1)相同点①展现了知识的产生和应用过程，体现科学合理的数学学习方式教材对教学内容按照:情境引入(启发思考)一一自主探索(合作学习)一一反思交流一一建立模型(内化、整理)一一综合运用(解决问题)基本模式进行编排，即创设一个含有数学问题的、学生熟，悉并喜闻乐见的生活情境，通过观察、动手实践、探索、交流等活动逐步建立这一问题的数学模型，然后运用这一模型去解释现象，去解决一些简单的实际问题。②体现了算法多样化的要求《标准》中提倡“算法多样化”，算法多样化是不同的人对数学理解的个性化表现，也是解决问题策略多样化的一种重要体现。鼓励算法多样化不是学习多种算法，而是尊重学生个性化的算法。把重视算法多样化体现在学生个性化的解决问题方法的交流、分享活动中。因此，两个版本的教材鼓励学生“用自己的方法算”，并在小组内展示10不同的算法。(2)不同点①在引入新知前:苏教版教材中提供了多样的找规律的观察材料，使学生在头脑中形成了丰富的相关数量关系的表象积累，而人教版教材只是呈现一幅种树的画面，并且和题目的数量关系没有直接的表征关系。②在探究新知时:人教版教材由于之前缺乏表象的积累，然后又有小精灵直接给出解决问题的方法:画线段图和算式。虽然也是启发，但学生较难自己动手实践发现，显得探究性少些，还是有些灌输的痕迹;苏教版则是通过问题串的形式来启发学生思考。③在练习题上:人教版练习题无论是数量还是难度都要大于苏教版的。人教版后面的练习题有11个，苏教版是6个，此外人教版的动脑筋题则比较抽象和复杂，体现了数学教学的层次性，而苏教版是从五年级才开始安排的，这点也与前面的素材来源里的数据和编排体系的横向比较的结论是也是一致的。根据奥苏泊尔的先行组织者策略，在学习新知识之前，有目的地先让学生学习一些和所学新知识有实质性联系的引导性材料，使学生很快建立新旧知识之间的联系，促成有意义的学习①。对于形象具体思维为主的小学生来说，先行组织者往往是抽象性、概括性和包摄性水平方面低于学习材料的。可见苏教版在引入新知时能很好地运用先行组织者来促进学生有意义的学习。虽然以上案例的比较是一个特例，但是在某种程度上也反映了两11个版本该版块在内容安排上存在的部分差异:人教版教材大多比较快的就引入新知，然后直接就过渡到解决的方法，并且解决问题的算式很多时候由