小学奥数平面几何五大模型

1/4小学奥数平面几何五大定律一、等积模型图(1)图(2)图(3)图(4)①等底等高的两个三角形面积相等如图(1)：D为BC中点，则𝑺△𝑨𝑩𝑫=𝑺△𝑨𝑪𝑫如图(4)：𝒍𝟏平行于𝒍𝟐，则𝑺△𝑨𝑪𝑫=𝑺△𝑩𝑪𝑫②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比如图(2)：𝑺△𝐀𝐁𝐃𝑺△𝐀𝐂𝐃=𝑩𝑫𝑪𝑫③两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图(3)：BC=EF，则𝑺△𝐀𝐁𝐂𝑺△𝐃𝐄𝐅=𝒉𝟏𝒉𝟐④夹在一组平行线之间的等积变形如图(4)：𝒍𝟏平行于𝒍𝟐，则𝑺△𝑨𝑩𝑫=𝑺△𝑨𝑪𝑫反之如果𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐶𝐷，则可知直线𝒍𝟏平行于𝒍𝟐⑤等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)⑥三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半⑦两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、共角定理(鸟头定理)两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O），这两个三角形叫做共角三角形．DCBAℎABDCℎ1ℎ2𝑙2𝑙2BACℎ1FEDℎ2BCADℎ2/4共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．共角互补角图(1)图(2)如图(1)：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，△ABC与△ADE共∠A如图(2)：D在BA的延长线上，E在AC上；∠BAC+∠BAC＝180O(互补)，则:S△ABC:S△ADE=(AB×AC):(AD×AE)；或𝐒△𝐀𝐁𝐂𝐒△𝐀𝐃𝐄=𝐀𝐁×𝐀𝐂𝐀𝐃×𝐀𝐄三、相似模型数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。相似符号：“∽”相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形传递性：如果图A相似于图B，图B相似于C，则A相似C即：图A∽图B，图B∽图C；则，图A∽图B∽图Ca顺时针旋转90度a翻转a缩小图(1)图(2)图(3)图(4)cadbABCDE金字塔模型ADECBFACBDECOBDA沙漏模型3/4图(1)、图(1)、图(1)、图(1)四个三角相似，即△a∽△b∽△c∽△d沙漏模型中△ABO△∽△CDO；金字模型中：△ABC∽△ADE（1）相似三角形的一切对应线段(对应高线、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（4）相似三角形内切圆、外接圆直径比、周长比等于相似比，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。（5）沙漏模型①△ABO∽△CDO②相似比=𝐀𝐁𝐃𝐂=𝑨𝑫=𝑩𝑪＝𝒉𝟏𝒉𝟐③𝑺△𝐀𝐁𝑺△𝐂𝐃=𝟏𝟐𝑨𝑩×𝒉𝟏𝟏𝟐𝑪𝑫×𝒉𝟐=𝑨𝑩𝑫𝑪×𝒉𝟏𝒉𝟐=𝑨𝑩𝟐𝑫𝑪𝟐=(𝑨𝑩𝑫𝑪)𝟐=(相似比)𝟐（6）金字塔模型①:△ADE∽△ABC②相似比=𝐀𝐃𝐀𝐁=𝑨𝑨𝑪=𝑫𝑩𝑪=𝑨𝑨③𝑺△𝐀𝐃𝐄𝑺△𝐀𝐁𝐂=𝟏𝟐𝑫×𝐀𝐅𝟏𝟐𝑩𝑪×𝑨=𝑫𝑩𝑪×𝑨𝑨=𝑨𝑩𝟐𝑫𝑪𝟐=(𝑫𝑩𝑪)𝟐=(相似比)𝟐四、蝴蝶定理任意凸四边形连接其对角线构成蝴蝶形；或任意两相交直线，分别连接两直线端点即构成蝴蝶COBDA沙漏模型ℎ1ℎ2金字塔模型ADBEGCBF4/4任意四边形蝴蝶定理：①𝑺𝟏𝑺𝟐=𝐒𝟒𝐒𝟑或者𝑆1×𝑆3=𝑆2×𝑆4②𝑨𝑪=𝐒𝟏+𝑺𝟐𝐒𝟑+𝑺𝟒=𝑺△𝐀𝐁𝐃𝑺△𝐂𝐁𝐃梯形蝴蝶定理：①𝑺𝟏𝑺𝟑=(相似比)𝟐=(𝒂𝒃)𝟐=𝒂𝟐𝒃𝟐或𝒔𝟏:𝒔𝟑=𝐚𝟐:𝒃𝟐②𝒔𝟏:𝒔𝟑:𝒔𝟐:𝒔𝟒=𝐚𝟐:𝒃𝟐:𝒂𝒃:𝒂𝒃即S1占梯形总面积a2份，S3占梯形总面积b2，S2和S4占梯形总面积a×b份③梯形面积对应份数为(𝑎+𝑏)2份蝴蝶模型中构建了内部三角形这间的面积关系，同时还建立起了内部三角形面积与相交的两对角线之间的关系。梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。五、燕尾定理在△ABC内找一点O，分别连接三个顶点，并延长交于底边如图1。则：𝐒△𝐀𝐁𝐒△𝐀𝐂=𝐁𝐃𝐂𝐃；𝐒△𝐁𝐂𝐒△𝐁𝐀=𝐂𝐅𝐀𝐅；𝐒△𝐂𝐁𝐒△𝐂𝐀=𝐁𝐄𝐀𝐄因为图的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．上述定理给出了一个转化面积比与线段比的手段，该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形内的三角形面积与对应底边之间提供互相联系的途径.BCDAO𝑆2𝑆1𝑆4𝑆3ab梯形中的蝶形ABCD𝑆1𝑆2𝑆3𝑆4O任意四边形ABCODBCAODFE图1(燕尾)