心理统计学第六章

第六章第六章相关量数课时安排：6课时教学课型：理论课，课堂同步练习教学目的要求：理解相关分析的意义与条件；熟练掌握积差相关法的基本思想与分析方法；熟练掌握等级相关、点二列相关、二列相关及φ相关的使用前提与分析方法；能应用各种相关解决实际问题。教学重点与教学难点：重点——积差相关的意义与应用；难点——各种相关方法的选择应用教学方法、手段、媒介：教科书、板书、多媒体教学过程与教学内容第一节相关与相关系数...................................................................................................1第二节积差相关...................................................................................................................3第三节等级相关.................................................................................................................6第四节质与量的相关.........................................................................................................10第五节品质相关——φ相关.............................................................................................13作业题....................................................................................................................................13第一节第一节相关与相关系数一、事物的关系与相关量数事物关系分为三种：一是说明的是事物之间互相依存、互为因果的关系。二是函数关系。三是伴随关系，它既不同于因果关系和函数关系，又不排斥因果关系和函数关系，是事物之间的一种更为复杂关系，相关关系即属这种关系。三者的关系如图6-1所示。因果关系函数关系伴随关系图6-1事物之间的关系二、相关的种类（一）方向上——正相关、负相关和零相关正相关指一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量亦由大而小或由小而大的变化，即两列变量是同方向变化的，属“同增共减”的关系。负相关指一列变量由大而小或由小而大的变化，另一列变量却反由小而大或由大而小的变化，即两列变量的变化方向是相反的，属“此增彼减”的关系。零相关又称无相关，是一列变量由大而小或由小而大变化时，另一列变量则或大或小的变化，即两列变量的变化看不出一定的趋势，甚至毫无关系。（二）形状——直线相关和曲线相关直线相关指两列变量中的一列变量在增加时，另一列变量随之而增加；或一列变量在增加，另一列变量却相应地减少，形成一种直线关系。两列变量的变化在坐标轴上绘制散点图时形成的是长轴或椭圆形图形。曲线相关指两列相伴随变化的变量，未能形成直线关系。两列变量的变化莫测在坐标轴上绘制散点图时形成的是成弯月状或曲线形图形。（三）变量个数——简相关和复相关简单相关是指只有两个变量的相关，又称简相关。复杂相关则是指有三个或三个以上变量的相关，也称复相关。（四）相关程度——完全相关、强相关、弱相关和无相关完全相关指两列变量的关系是一一对应、完全确定的关系。在坐标轴上描绘两列变量时会形成一条直线。强相关又称高度相关，即当一列变量变化时，与之相应的另一列变量增大（或减少）的可能性非常大。在坐标图上则表现为散点图较为集中在某条直线的周围。弱相关又称低度相关，即当一列变量变化时，与之相对应的另一列变量增大（或减少）的可能性较小。在坐标图表现出散点比较分散地分布在某条直线的周围。无相关则是当一列变量变动时，相对应的另一列变量可能有变动，也可能无变动，而且毫无规律。三、相关分析的方法（一）图示法图示法主要是利用散点图来描述变量之间的相互关系。散点图是将成对变量的变动值描绘在坐标图上形成的一种图形。从散点图上，我们既可以了解相关的方向（是正相关、负相关，还是零相关）、相关的形态（是直线相关还是曲线相关），也可以了解相关的大致程度（是强相关还是弱相关）。（二）计算法计算法是通过计算变量之间的相关系数来描述其相关情形的。相关系数是表示相关方向和大小的一种数值，用符号r表示，其取值范围为1≤r≤1，其中符号表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。相关系数为1时表示完全正相关，相关系数为1时表示完全负相关，相关系数为0时表示零相关。相关系数越接近1，其相关程度越高，反之，越接近0，相关程度越低。相关系数究竟达到何种程度才算相关高或低属于统计检验的问题。不过也有一些统计学家对相关程度作了规定，如认为40.0~0表示低度相关，70.0~40.0表示中度相关，00.1~70.0表示高度相关。四、相关系数的解释首先，要从逻辑上判断事物之间是否真正存在关系。因为相关系数是由样本数据计算而来的，即使所考察的两列变量确无任何关系，我们也可以通过概率得到强的正相关或是强的负相关。其次，要注意随着样本容量的增大，达到相关显著的相关系数值会变得越来越小。对于相关系数，我们不仅要问是否显著，还要问有多大，而决定其大小的是测定系数。测定系数是相关系数的平方（即2r），用以说明二列变量的变异中一方能由另一方解释部分的多少。一般来说，相关系数在0.3以下为低相关，这时的r只有理论意义而无实际意义；相关系数在0.4～0.6之间为中等相关，这时的r既有有理论意义也有实际意义；相关系数在0.7以上为高相关，这时的r理论意义与实际意义都很大。第三，要在一定的时空间范围内解释相关系数。此外，应注意不同类型的数据其相关的计算方法不同。第二节积差相关一、积差相关的意义（一）积差相关的定义积差相关是直线相关中最基本的方法，又叫均方相关ak积矩相关，其公式由英国统计学家皮尔逊（Pearson）提出，故又称或皮尔逊相关系数，用符号XYr表示。它是利用离差乘积的关系来说明事物的关系，是将原始记分转换为离差乘积（即积差），再转换为标准积差后所求得的标准积差的平均数。我们以例6-1说明积差相关的意义及公式来源。例6-1：有5名学生的身高（公分）与体重（公斤）的测量结果如表6-1第2栏所示。试问身高与体重有无关系？表6-15名学生身高和体重的测查结果第1栏第2栏第3栏第4栏第5栏第6栏学生编号实测记分离差记分积差标准记分标准积差身高体重XdYdYXddXZYZYXZZXYXXYYYYXXXXSdYYSdYYXXSdSd11707203001.50.00216569-500-0.4100.00315066-20-3601.63-1.52.44418070101100.820.50.4151856815-1-151.22-0.5-0.618503450055——2.24第1步，计算两列变量各自的平均数和标准差1705850X，695345Y；25.1257502NdSXX，25202NdSYY第2步，求成对变量的离差Xd和Yd，将实测记分转换为离差记分。第3步，将成对变量的离差相乘，称为积差[即YYXX]。积差的平均数称协方差（covariance），记为YXCOV,，即11555,NYYXXYXCOV第4步，将离差记分转换为标准记分。第5步，将两列变量的标准记分再相乘称标准积差，标准积差的平均数就是积差相关系数的基本公式，即NZZrYXXY可见，积差相关系数实际上就是成对变量标准积差的算术平均数。例6-1的积差相关系数为45.0524.2XYr（二）积差相关系数的使用条件积差相关的使用一般需满足三个充分必要条件。一是两列变量必须是成对的，而且样本容量不宜少于30；二是两列变量必须是比率变量或等距变量；三是两列变量的总体分布均为正态分布或近似正态分布。二、积差相关系数的计算方法（一）定义式NZZrYXXY22YYXXYYXX（二）计算式NYYNXXNYXXYrXY22222222YNYXNXYXNXY用计算式计算例6-1的积差相关系数的过程如下。①分别求两列变量值的和，即X和Y。②分别对两变量的变量值进行平方（即2X，2Y）并求和（即2X，2Y）。③求成对变量值的乘积（即XY）及其乘积和（即YX）。④代入公式，计算结果NYYNXXNYXXYrXY222245.07502055585014525053452382558503455870522表6-2积差相关计算表第1栏第2栏第3栏第4栏第5栏第6栏学生身高X体重Y2X2YXY1170722890051841224021656927225476111385315066225004356990041807032400490012600518568342254624125808503451452502382558705三、积差相关显著性的判断积差相关的显著性可查“皮尔逊积差相关系数显著性临界值表”。当自由度（df）为2N时，若r≥05.0r，相关显著，若r≥01.0r相关极显著，若r＜05.0r，相关不显著。本例n=5，325df，r=0.45，查“皮尔逊积差相关系数显著性临界值表”可得05.0r=0.878，所以相关不显著。第三节等级相关一、等级相关的意义等级相关是根据等级资料来研究变量之间相互关系的方法，其资料一是研究中所收集的数据本身就是等级评定的资料，二是研究中所收集的数据原本为等距或比率变量的资料，因不满足积差相关的使用条件需要将基而转化为等级性资料进行分析的情形。等级相关使用条件较积差相关更为宽松和灵活，可以用于多列等级或顺序变量，也可以用于成对变量值少于30的情形，还可以用于两列变量总体分布为非正态时。二、等级相关的计算方法等级相关法因变量个数的多少而有用于分析两列变量相互关系的斯皮尔曼等级相关和用于分析多列变量相互关系的肯德尔和谐系数。（一）斯皮尔曼等级相关斯皮尔曼等级相关（Spearman’srankcorrelation）是根据两列变量的成对等级差数计算相关系数，又叫“等级差数法”，用符号r或Sr表示1．无重复量的等级相关例6-2：10名辅导员工作年限与辅导能力评定等级结果如表6-3所示。试问工作年限与辅导能力之间是否有关？表6-3工作年限与辅导能力评定等级资料表12345678910年限581024126397—能力73598261041—年限R74210816935—D0-13-101011-4—2D0191010111630NNDr3261①变量形式的转换。因只有年限变量为等距变量，故只需将其转换成顺序变量即可。②求成对等级变量的差。③求等级差的平方（2D）及平方和（2D）。④代入公式，计算结果。82.099018011010306161332NNDr2．有相同等级的等级相关系数例6-3：10名学生的数学和物理测验的成绩如表6-4所示，试求数学和物理成绩的相关系数。数据中不仅数学成绩有较多的重复数据，而且物理成绩也有较多重复数据。222222yxDyxrc其中，2x或1212332nnNNy，表6-4学生数学和物理成绩表12345678910数学X80707080657075607055695物理Y70757075607580656560695XR1.55.55.5