必修2红对勾第二章单元评估题(一)

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第二章单元评估题(一)时限:120分钟满分:150分一、选择题(每小题5分,共60分)1.“a,b是异面直线”是指①a∩b=Ø且a不平行于b;②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=Ø;③a⊂平面α,b⊄平面α;④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立.上述结论中,正确的是()A.①②B.①③C.①④D.③④答案:C2.三条直线两两垂直,下列四个命题:①这三条直线必共点;②其中必有两条直线不同在一个平面内;③三条直线不可能在同一平面内;④其中必有两条直线在同一个平面内.其中正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:③④正确.答案:C3.两个平面α与β相交但不垂直,直线m在平面α内,则在平面β内()A.一定存在与直线m平行的直线B.一定不存在与直线m平行的直线C.一定存在与直线m垂直的直线D.不一定存在与直线m垂直的直线解析:在平面β内可能存在,也可能不存在平行于m的直线,所以A,B错误.而对于α内的任意一条直线,在平面α内都可以找到与m垂直的直线,所以C正确,D错误.答案:C4.在棱长为1的正方体AC1中,对角线AC1在六个面上的正投影长度总和为()A.63B.62C.6D.36答案:B5.AB,BC,CD三条线段不共面,则三线段的中点所确定的平面与直线AC的关系为()A.相交B.平行C.垂直D.AC在面内答案:B6.A是二面角α—l—β的棱上一点,AB⊂β,AB与l成45°角,与α成30°角,则该二面角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案:B7.在正四面体P—ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析:如图1所示,由于DF∥BC,∴BC∥平面PDF,A成立.由AE⊥BC,DF∥BC,∴DF⊥AE,DF⊥PE,∴DF⊥平面PAE,B成立.又DF⊂平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC,D成立.若平面PDF⊥平面ABC,而由DF⊥AE,则AE⊥平面PDF,∴AE⊥PF,又PF⊥AC,∴PF⊥平面ABC;同理,PD⊥平面ABC,这样过平面外一点就有两条直线垂直于同一个平面,这是不可能的,∴C不正确.图1答案:C8.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连结PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有()A.8对B.7对C.6对D.5对图2解析:画出图形,如图2所示,由PD⊥平面ABCD,很容易知道平面PAD⊥平面ABCD,平面PBD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PBC,平面PAD⊥平面PDC,平面PBD⊥平面PAC.答案:B9.给出下列命题:①和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内;②三条两两相交的直线在同一个平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A10.已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C,A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上,若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点,则D、E、F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上答案:D11.若一个正n边形的两条对角线与平面α平行,则此n边形所在平面β也与α平行,那么此n边形是()A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形答案:A12.两个平面α、β,下列条件中能判断α⊥β的是()A.α、β都与γ垂直B.α∥γ,β⊥γC.直线l,b分别在α,β内,且l⊥bD.直线l与b互相垂直,且l∥α,b∥β答案:B二、填空题(每小题5分,共20分)13.不共面的四点可以确定平面的个数为________.答案:414.如图3所示,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,则AC=________.图3解析:由α∥β,平面PBD同时与α、β相交,∴交线平行,即AC∥BD,∴PAPB=ACBD,由此得到AC=9.答案:915.若AB、AC、AD两两垂直,AB=5,AC=4,AD=3,则三棱锥A­BDC的体积为________.答案:10图416.如图4所示,三棱柱ABC-A1B1C1中侧棱AA1垂直于底面,AB⊥AC,且AA1=AB=AC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P是A1B1上任一点,则直线PQ与直线AM所成角为________.答案:90°三、解答题(共70分)17.(本小题10分)已知m∥α,β∩γ=m,α∩β=a,γ∩α=b,求证:a∥b.证明:∵m∥α,a⊂α,a⊂β,m⊂β,∴m∥a,同理,m∥b.∴a∥b.18.(本小题12分)如图5,A是平面BCD外一点,△ABD、△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求证:BD⊥平面ADC.图5证明:令AD=BD=CD=a,在Rt△ABD中,AB=2a;在Rt△ACD中,AC=AD2+CD2=2a,而在△BAC中,∠BAC=60°,且AB=AC=2a,∴BC=2a,∴BC2=BD2+CD2=2a2,∴∠BDC=90°,∴BD⊥DC.而BD⊥AD,∴BD⊥平面ADC.19.(本小题12分)一个多面体的直观图及三视图如图6所示.(其中M、N分别是AF、BC的中点).图6(1)求证:MN∥平面CDEF;(2)求多面体A—CDEF的体积.解:由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE—BCF,且AB=BC=BF=2,DE=CF=22,∠CBF=90°.图7(1)取BF的中点G,连结MG、NG,由M、N分别为AF、BC中点,可得NG∥CF,MG∥EF⇒面MNG∥面CDEF⇒MN∥面CDEF.(2)取DE中点为H,连结AH,因为AD=AE⇒AH⊥DE.在直三棱柱ADE—BCF中,平面ADE⊥平面CDEF,面ADE∩面CDEF=DE⇒AH⊥平面CDEF⇒多面体A—CDEF是以AH为高,以矩形CDEF为底面的棱锥,在△ADE中,AH=2,S矩形CDEF=DE·EF=42⇒棱锥A—CDEF的体积V=13S矩·AH=83.20.(本小题12分)(2010·湖南高考,理)如图8所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.图8(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.解:(1)如图9(a)所示,取AA1的中点M,连结EM,BM.因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.又在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=22+22+12=3.于是,在Rt△BEM中,sin∠EBM=EMBE=23,即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.图9(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F∥平面A1BE.事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连结EG,BG,CD1,FG.因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,因此D1C∥A1B.又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B.这说明A1,B,G,E共面.所以BG⊂平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点.所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B.因此四边形B1BGF是平行四边形.所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.图1021.(本小题12分)如图10所示,在四棱锥S—ABCD中,侧棱SA=SB=SC=SD,底面ABCD是菱形,AC与BD交于O点.(1)求证:AC⊥平面SBD;(2)若E为BC的中点,点P在侧面△SCD内及其边界上运动,并保持PE⊥AC,试指出动点P的轨迹,并证明你的结论.解:(1)连结SO,图11∵底面ABCD是菱形,O为中心,∴AC⊥BD.又SA=SC,∴AC⊥SO,而SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD.(2)取棱SC中点M,CD中点N,连结MN,则动点P的轨迹即是线段MN.证明:连接EM、EN,∵E是BC中点,M是SC中点.∴EM∥SB,同理EN∥BD.∵AC⊥平面SBD,AC⊥SB,∴AC⊥EM,同理AC⊥EN.又EM∩EN=E,∴AC⊥面EMN.因此,当P点在线段MN上运动时,总有AC⊥EP.22.(本小题12分)如图12,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.图12(1)证明:直线EE1∥平面FCC1;(2)求二面角B-FC1-C的余弦值.图13解:(1)证法一:取A1B1的中点F1,连结FF1、C1F1,由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1,连结A1D、F1C,由于A1F1綊D1C1綊CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C,而EE1⊄平面FCC1,F1C⊂平面FCC1,故EE1∥平面FCC1.证法二:因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CD綊AF,因此四边形AFCD为平行四边形,所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1,又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.(2)取FC的中点H,由于FC=BC=FB,所以BH⊥FC.又BH⊥CC1,所以BH⊥平面FCC1.过H作HG⊥C1F于G,连结BG.由于HG⊥C1F,BH⊥平面FCC1,所以C1F⊥平面BHG,图14因此BG⊥C1F,所以∠BGH为所求二面角的平面角.在Rt△BHG中,BH=3,又FH=1,且△FCC1为等腰直角三角形,所以HG=22,BG=3+12=142,因此cos∠BGH=GHBG=22142=77,即所求二面角的余弦值为77.

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