小恩的秘密花园读书课59二年级四年级

第四章单元评估题(二)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：∵圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点对称的点为(2,0)，∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆为(x－2)2＋y2＝5.答案：A2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：圆O1：x2＋y2－2x＝0⇔(x－1)2＋y2＝1，故圆心为(1,0)，半径为1.圆O2：x2＋y2－4y＝0⇔x2＋(y－2)2＝4，故圆心为(0,2)，半径为2.则圆心距d＝1－02＋0－22＝5.而2－151＋2，即两圆相交．答案：B3．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为()A．36B．18C．62D．52解析：x2＋y2－4x－4y－10＝0⇔(x－2)2＋(y－2)2＝18，圆心(2,2)，半径r＝18＝32，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52.答案：C4．过定点(1,2)可作两直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是()A．k2B．－3k2C．－833k－3或2k833D．以上皆不对答案：C5．若直线Ax＋By＋C＝0(A、B≠0)和圆x2＋y2＝1相切，则以|A|、|B|、|C|为三边长的三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形答案：B6．过定点A(0，a)在x轴上截得弦长为2a的动圆圆心的轨迹方程是()A．x2＋(y－a)2＝a2B．y2＝2axC．(x－a)2＋y2＝a2D．x2＝2ay答案：D7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－73)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－32)2＋(y－1)2＝1解析：设圆心C(a，b)，由条件可得b＝1，|4a－3b|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍)．∴a＝2.答案：B8．已知两圆相交于A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为()A．－1B．1C．3D．0解析：由题意知：直线x－y＋c＝0为线段AB的垂直平分线，且AB的中点(1＋m2，1)在直线x－y＋c＝0上，所以1＋m2－1＋c＝0，即m＋2c＝1.答案：B9．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]答案：A10．如图1，正方体的棱长为1，M是所在棱的中点，N是所在棱的四等分点，则M、N之间的距离为()图1A.214B.294C.212D.292答案：B11．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}，且A∩B＝B，则a的取值范围是()A．a≤1B．a≥5C．1≤a≤5D．a≤5图2解析：A∩B＝B等价于B⊆A.当a≥1时，集合A和B中的点的集合分别代表圆x2＋y2＝16和圆x2＋(y－2)2＝a－1的内部，如图2，容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意．由0≤a－1≤4，得1≤a≤5；当a1时，集合B为空集，也满足B⊆A，所以当a≤5时符合题意．答案：D12．已知半圆x2＋y2＝4(y0)上任一点P(t，h)，过点P作切线，切线斜率为k，则函数k＝f(t)的单调性为()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．到两定点A(1,2,3)，B(3,7，－1)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的关系式为________．解析：由题意知|PA|＝|PB|，∴x－12＋y－22＋z－32＝x－32＋y－72＋z＋12.整理得：4x＋10y－8z－45＝0.答案：4x＋10y－8z－45＝014．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则|PQ|的最小值是________．答案：35－3－615．圆(x－a)2＋(y＋3a)2＝1的圆心轨迹方程是______________________．答案：3x＋y＝016．若点M(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，则2x＋y的取值范围是________．答案：[1－5，1＋5]三、解答题(共70分)17．(本小题10分)设圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，求直线AB的方程．解：解法一：已知圆的方程为(x－2)2＋y2＝9.可知圆心C的坐标是(2,0)，又知AB弦的中点是P(3,1)，所以kCP＝1－03－2＝1.而AB⊥CP，所以kAB＝－1.故直线AB的方程是x＋y－4＝0.解法二：设所求直线方程为y－1＝k(x－3)．代入圆的方程，得关于x的二次方程(1＋k2)x2－(6k2－2k＋4)x＋9k2－6k－4＝0，由韦达定理x1＋x2＝6k2－2k＋41＋k2＝6，解得k＝－1.故直线AB的方程为x＋y－4＝0.解法三：设所求直线与圆交于A、B两点，其坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有x1－22＋y21＝9，①x2－22＋y22＝9，②②－①，得(x2＋x1－4)(x2－x1)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0.又AB的中点坐标为(3,1)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2.∴y2－y1x2－x1＝－1，即AB的斜率为－1.故所求方程为x＋y－4＝0.图318．(本小题12分)设有长方体ABCD—A′B′C′D′，长、宽、高分别为|AB|＝4cm，|AD|＝3cm，|AA′|＝5cm，N是线段CC′的中点，分别以AB，AD，AA′所在的直线为x轴，y轴，z轴，以1cm为单位长，建立如图3所示的空间直角坐标系．(1)求A、B、C、D，A′、B′、C′、D′的坐标；(2)求N点坐标；(3)求AC′的长．解：(1)显然A(0,0,0)．由B、D、A′分别在x、y、z轴上，∴B(4,0,0)，D(0,3,0)A′(0,0,5)，C、B′、D′分别在xOy、xOz，yOz平面内，∴C(4,3,0)，B′(4,0,5)，D′(0,3,5)，C′在xOy平面内射影为C，且|CC′|＝5，∴C′(4,3,5)．(2)N在xOy平面内的射影为C，且|CN|＝52，∴N(4,3，52)．(3)由两点间的距离公式可得：|AC′|＝4－02＋3－02＋5－02＝52.19．(本小题12分)已知曲线C：x＝4－y2(－2≤y≤2)和直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，求实数k的取值范围．图4解：如图4，曲线C表示以(0,0)为圆心，2为半径的右半圆，直线过(1,3)点．由图2可得kAM＝11＝1，kBM＝51＝5，∴1≤k5.又|－k＋3|1＋k2＝2,3k2＋6k－5＝0，解得k＝－1±263(舍正)．∴k取值的集合为{k|1≤k5或k＝－1－263}．20．(本小题12分)设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落的中心出发，A向正东而B向正北前进，A出村后不久，改变了前进方向，沿着与村落边界相切的方向直线前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度之比为3∶1，问A、B两人会在何处相遇？图5解：如图5所示，以村落的中心为原点，以正东方向为x轴建立直角坐标系．设A、B两人的速度分别为3v和v，A出发后x0h，在点P处改变方向．又经y0h，在点Q处与B相遇，则P(3vx0,0)，Q(0，vx0＋vy0)．由于A从P到Q行走的时间为y0h，于是由勾股定理，得|OP|2＋|OQ|2＝|PQ|2，即(3vx0)2＋(vx0＋vy0)2＝(3vy0)2，化简得(x0＋y0)(5x0－4y0)＝0.又∵x0＋y00.∴5x0＝4y0，即y0＝54x0.①又∵kPQ＝0－vx0＋y03vx0－0＝－x0＋y03x0，②将①代入②，得kPQ＝－34，∴设直线PQ的方程为y＝－34x＋b(b0)，即3x＋4y－4b＝0.∵直线PQ与村落边界相切，∴|4b|32＋42＝3，解得b＝154，即A和B相遇的地点是在离村落中心正北154km处．21．(本小题12分)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0关于直线x＋y－1＝0对称，圆心在第二象限，半径为2.(1)求圆C的方程；(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．解：(1)由题意，得－D2－E2－1＝0，D2＋E2－4×32＝2，解得D＝2，E＝－4或D＝－4，E＝2(舍)．∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(2)圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设切线l：x＋y＝m，∴圆心C(－1，2)到切线的距离等于半径2，即|－1＋2－m2|＝2，∴m＝－1或m＝3.所求切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.22．(本小题12分)已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．解：(1)由题意，得|M1M||M2M|＝5.x－262＋y－12x－22＋y－12＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.即(x－1)2＋(y－1)2＝25.∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8，∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝|3k＋2|k2＋1，由题意，得(|3k＋2|k2＋1)2＋42＝52，解得k＝512.∴直线l的方程为512x－y＋236＝0，即5x－12y＋46＝0.综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0.