必修2第2讲空间角专题有答案

第1页共4页第2讲空间角的计算一、知识与方法整理：空间角异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角定义范围图示作法求空间角的一般步骤是：（一“作”；二“证”；三“求”）(1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）；(2)证明此角为所求角；(3)计算。二、例题讲解：一、异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCDABCD中,12AAAB,则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为___45(2)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_________。3010（3）如图，在棱长为a的正方体1111DCBAABCD，FE,分别为BC与11DA的中点，直线CA1与DE所成的角等于15arccos15小结：线线角抓平行线。要求异面直线夹角，关键是将两条直线平移到同一平面上，将空间角转化为平面角。异面直线所成的角求法：①平移法②割补法二、线面夹角问题例2、（1）直线a是平面的斜线，直线b在平面内，当a与b成60O的角，且b与a在内的射影成45O的角时，a与所成的角为(B)(A)60O(B)45O(C)90O(D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．（I）求证：CMEM；DCBAC1B1D1A1第2页共4页（II）求CM与平面CDE所成的角．45°小结：线面角抓面垂线（定射影）。要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。斜线与平面所成的角求法：定义法三、二面角问题例3、（1）四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，PA=AB=a，则二面角DPCB的大小为。120°（2）在二面角l的一个平面内有一条直线AB，它与棱的夹角为45，AB与平面所成的角为30，则二面角的大小为；45°（3）二面角l是锐角，空间一点P到,和棱的距离分别是22，4和24，则这个二面角的度数为（）BA、30或45B、15或75C、30或60D、15或60（4）如图，△ABC中，∠ABC=30，PA⊥平面ABC，PC⊥BC，PB与平面ABC成45角，①求证：平面PBC⊥平面PAC；②求二面角A—PB—C的正弦值。（过C作CD⊥AB，过D作DE⊥PB，连接CE既求角CED。SinCED=105例4、如图，平面PCBM平面ABC，90PCB，//PMBC，直线AM与直线PC所成的角为60°，又1AC，22BCPM，90ACB．（Ⅰ）求证：ACBM；（Ⅱ）求二面角MABC的正切值；303（Ⅲ）求多面体PMABC的体积．66小结：面面角抓棱垂线。要求二面角，关键是找到二面角的平面角，使得平面角的顶点在棱上，两边分别在两个半平面上，且两边与棱垂直。二面角的求法：①定义法（点在棱上）；②垂线法（点在面上）；③垂面法（点在角内）另外，注意“无棱的二面角问题”。第3页共4页BCBCA111ADＡＯＥＣＢ课后练习：1、已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为（）C（A）1010(B)15(C)31010(D)352、已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（）D（A）34（B）54（C）74(D)343、如右图，在正方体1111ABCDABCD中，E,FG,H分别为1AA，AB，1BB，11BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°4、（09浙江卷）在三棱柱111ABCABC中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面11BBCC的中心，则AD与平面11BBCC所成角的大小是()CA．30B．45C．60D．90w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5、如右图，若A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是()C（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC(D)若AB=AC，DB=DC，则ADBC6、如右图，四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD＝2AB＝2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．30°7、如图，已知三棱锥OABC的侧棱OAOBOC，，两两垂直，且1OA，2OBOC，E是OC的中点．（1）求O点到面ABC的距离；63（2）求异面直线BE与AC所成的角；（3）求二面角EABC的大小．2、过AO中点G，连接GE,GO，既求∠GEB，cos∠GEB=253先证明AB⊥面OFC，连接FC,FE，既求∠CFECos∠CFE=736ABDC第4页共4页8、如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BCADABCDP中,90ABCPA平面ABCD,32,2,3ABADPA,BC=6.(Ⅰ)求证:;PACBD平面(Ⅱ)求二面角ABDP的大小.60°9、（北京•理）如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．2、∠CDE=1533、tan∠CDE=OC/OD=2/OD≤2/h=2310、如图，矩形ABCD中，32,6BCAB，沿对角线BD将ABD向上折起，使点A移至点P，且P在平面BCD的射影O在DC上。（1）求二面角CDBP的平面角的余弦值。（2）求直线DC与平面PBD所成角的正弦值。1、过O作OE⊥BD，连接PE，既求∠PEO，cos∠PEO=132、过O作OF垂直PE，既求sin∠ODF=222323OFODOCADBE