必修2高中数学人教B版模块综合测试(附祥细答案)

1必修二高中数学人教B版模块综合测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在某几何体的三视图中,主视图、左视图、俯视图是三个全等的圆，圆的半径为R，则这个几何体的体积是()A.31πR3B.32πR3C.πR3D.334R解析：由题意,这个几何体是球,故体积为34πR3.答案：D2.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示的图形是()A.两个点B.两条直线C.两个平面D.一条直线和一个平面解析：由原方程可得(x+2y-2)(x-2y+2)=0，∴x+2y-2=0或x-2y+2=0.答案：C3.长方体各面上的对角线所确定的平面个数是()A.20B.14C.12D.6解析：相对两平行平面中有两组平行对角线,可以确定两个平面,这样有6个平面.又因为每个顶点对应一个符合条件的平面,这样又有8个平面,共有14个平面.答案：B4.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是()A.3x-2y+2=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解：设(x0,y0)是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),则2x0+3y0-6=0.(*)又由对称性知.12,1200yyxx∴.2,200yyxx代入(*)式得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.答案：D5.与圆C:x2+(y+5)2=3相切,且纵截距和横截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条解析：原点在圆C外,过原点的两条切线在坐标轴上的截距也是相等的;若切线不过原点,设为x+y=a,圆心为(0,-5),半径为3,∴32|50|a.∴a=-5±6.2∴在两轴上截距相等、斜率为-1的直线又有两条,共有4条.答案：C6.(2006高考天津卷,文7)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ,β⊥γα⊥β；②α⊥γ,β∥γα⊥β；③l∥α,l⊥βα⊥β.其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析：本题考查线面和面面的垂直平行垂直关系.①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.答案：C7.(2006高考全国卷Ⅰ,理7文9)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A.16πB.20πC.24πD.32π解析：本题考查长方体和正四棱柱的关系以及球的表面积的计算.由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心即球的直径为62,根据球的表面积公式,可得球的表面积为24π.答案：C8.将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是()A.36B.6C.3184D.398解：设水面高度为h.由42×8π=31×(33h)2πh，∴h=3184.故选C.答案：C9.已知点P(2,-3)、Q(3,2),直线ax-y+2=0与线段PQ相交,则a的取值范围是()A.a≥34B.a≤34C.25≤a≤0D.a≤34或a≥21解析：直线ax-y+2=0可化为y=ax+2,斜率k=a,恒过定点A(0,2).如图,直线与线段PQ相交,0≥k≥kAP,即25≤a≤0.答案：C10.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个3解：圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离为d=5|113433|=2，圆的半径是3.∴圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.答案：C11.直线l与直线3x+4y-15=0垂直，与圆x2+y2-18x+45=0相切，则l的方程是()A.4x-3y-6=0B.4x-3y-66=0C.4x-3y-6=0或4x-3y-66=0D.4x-3y-15=0解：由直线l与直线3x+4y-15=0垂直，则可设l的方程是4x-3y+b=0.由圆x2+y2-18x+45=0，知圆心O′(9，0)，半径r=6，∴5|0394|b=6,|36+b|=30.∴b=-6或b=-66.故l的方程为4x-3y-6=0或4x-3y-66=0.答案：C12.直线3x-2y+m=0和直线(m2-1)x+3y-3m+2=0的位置关系是()A.平行B.重合C.相交D.不能确定解析：因为3×3-2(m2-1)=0，m无解,可得3×3≠2(m2-1)，即两直线斜率不相等,所以这两条直线不平行或重合,由两直线相交的条件,可得两直线相交.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知A(-1，-2，1)、B(2，2，2)，点P在z轴上，且d(P,A)=d(P,B),则点P的坐标为___________.解：∵P在z轴上，∴设P点坐标为(0，0，z).又∵|PA|=|PB|，∴利用距离公式得z=3.答案：(0，0，3)14.若P在坐标平面xOy内,A点坐标为(0,0,4),且d(P,A)=5,则点P组成的曲线为___________.解析：考查两点距离公式的应用和探究问题的能力.设P(x,y,0)，则d(P,A)=222)40()0()0(yx，因为|PA|=5,所以x2+y2+16=25,即x2+y2=9.所以P点在xOy坐标面上形成一个以(0,0)为圆心，以3为半径的圆.答案：以(0,0)为圆心，以3为半径的圆15.如图1，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是___________.图1解析：可以考虑用一个与原来全等的几何体，倒过来拼接到原几何体上，得到一个底面半径为r，母线长为(a+b)的圆柱，其体积为πr2(a+b)，故所求体积为21πr2(a+b).4答案：21πr2(a+b)16.过圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于x+2y+11=0的直线方程是___________.解：圆x2+y2-6x+4y-3=0的圆心为(3,-2).设所求直线斜率为k,则k=21.∴方程为y+2=21(x-3),即x+2y+1=0.答案：x+2y+1=0三、解答题(共74分)17.(本小题12分)如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:图2(1)A1D∥平面CB1D1;(2)平面A1BD∥平面CB1D1.证明：(1)∵A1B1∥CD且A1B1=CD,∴四边形A1B1CD是平行四边形,故A1D∥B1C.又B1C平面CB1D1且A1D平面CB1D1,∴A1D∥平面CB1D1.(2)由(1)A1D∥平面CB1D1,同理可得A1B∥平面CB1D1,又A1D∩A1B=A1,且A1D和A1B都在平面A1BD内,所以平面A1BD∥平面CB1D1.18.(本小题12分)如图3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.图3(1)求证：A1C1⊥AB；(2)求点B1到平面ABC1的距离.(1)证明：连结A1B，则A1B⊥AB1.又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面A1BC1.∴AB1⊥A1C1.又∵A1C1⊥BB1,∴A1C1⊥平面ABB1.∴A1C1⊥AB.(2)解：由(1)知AB⊥AC，∵AB⊥AC1,5又∵AB=1,BC=2，∴AC=3,AC1=2.∴1ABCS=1.设所求距离为d，∴1111ABBCABCBVV.∴31S△ABC1·d=131ABBS·A1C1.∴31·1·d=31·21·3.∴d=23.19.(本小题12分)设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.∵圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,∴圆心在x+2y=0上.∴a+2b=0.①∵圆被直线截得的弦长为22,∴(2|1|ba)2+(2)2=r2.②由点A(2,3)在圆上,得(2-a)2+(3-b)2=r2.③联立①②③,解得.244,7,1452,3,622rbarba或∴圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.20.(本小题12分)已知圆C：(x-1)2+y2=9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长.解：(1)已知圆C：(x-1)2+y2=9的圆心为C(1，0)，因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y-2=21(x-2),即x+2y-6=0.(3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.6圆心到直线l的距离为21，圆的半径为3，弦AB的长为34.21.(本小题12分)如图4，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l；图4(1)画出直线l；(2)设l∩A1B1=P,求PB1的长；(3)求D到l的距离.解：(1)连结DM并延长交D1A1的延长线于Q.连结NQ，则NQ即为所求的直线l.(2)设QN∩A1B1=P,△A1MQ≌△MAD,∴A1Q=AD=A1D1,A1是QD1的中点.∴A1P=21D1N=4a.∴PB1=43a.(3)作D1H⊥l于H，连结DH，可证明l⊥平面DD1H，则DH⊥l,则DH的长就是D到l的距离.在Rt△QD1N中，两直角边D1N=2a,D1Q=2a,斜边QN=a217,∴D1H·QN=D1N·D1Q,即D1H=a17172,DH=aaa17357)17172(22,∴D1到l的距离为a17357.22.(本小题14分)设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇，设A、B两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇.解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3V千米/小时、V千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇，则P、Q两点坐标为(3Vx0,0)、(0,Vx0+y0).由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,知(3Vx0)2+(Vx0+y0)2=(3Vy0)2，即(x0+y0)(5x0-4y0)=0.∵x0+y0＞0，∴5x0=4y0.①将①代入kPQ=0003xyx,7得kPQ=43.又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两人相遇的位置.设直线y=43x+b与圆O：x2+y2=9相切，则有2243|4|b=3，∴b=415.