黄金矩形

黄金矩形黄金矩形是一种非常美丽的数学对象，其拓展远远超出了数学的范围，可见于艺术、建筑、自然界，甚至与广告，它的普及性并非偶然，心理学测试表明，在矩形中黄金矩形最为令人赏心悦目。公元前5世纪的古希腊建筑师已经知晓这种协调性的影响，巴特农神殿就是应用黄金矩形的一个早期建筑的例子。那时的古希腊人已经具有黄金均值及如何做它的知识，还知道如何近似于它，以及如何用它来构造黄金矩形。黄金矩形φ（phi）的读音，如古希腊著名雕塑家菲狄亚斯(Phidias)名字的头三个字母相同想来并非只是巧合。相信菲狄亚斯在他的作品中用了黄金均值和黄金矩形。既然毕达哥拉斯所处的那个社会能够选择五角星作为等级的一种记号，那么用φ表示黄金均值也就很难说与菲狄亚斯没有一点关系。除了影响建筑之外，黄金矩形还出现在艺术中。在公元1509年帕西欧里的《神奇的比例》一书中，达.芬奇为人体结构的黄金均值作了图解。黄金均值用在艺术上是以生动的对称技巧为标志。丢勒、西雷特、曼诸利安、达.芬奇、达利、贝娄等人，都在他们的一些作品中用黄金矩形去创造富有生气的对称。从几何意义上讲，在给定线段AC上黄金均值可以这样构成：在AC上取得一点B，使得AC/AB=AB/BC,则AB为黄金均值，也以黄金分割、黄金比以及黄金比例著称。一条线段一旦分割出黄金均值，那么黄金矩形也就很容易通过以下步骤测出：（1）给定任一线段AC，用点B将线段AC分割出一个黄金均值段，作正方形ABED；（2）作CF⊥AC;（3）延长DE，使得DE于CF交于点F，则矩形ADFC是一个黄金矩形，如图2.黄金矩形也可以不用已有的黄金均值段作出，如图3所示。其作法步骤如下：（1）作任意正方形ABCD；（2）用线段MN将正方形平分为两半；（3）用圆规，以点N为中心，以CN为半径作弧；（4）延长AB直至与以上的弧相交于点E；（5）延长DC；（6）做线段EF⊥AE，并令DC的延长线与EF交于点F，则矩形ADFE为一黄金矩形。]黄金矩形还能自我产生：从图4的黄金矩形ABCD出发，很容易通过画正方形ABEF的方法得到黄金矩形ECDF。再通过画正方形ECGH，容易构成黄金矩形DGHF。这样的过程可以无限的继续下去。用最后得到的无穷多个紧挨着的黄金矩形，可以做出另一种类型的等角螺线，也称对数螺线。用圆规在一系列黄金矩形中的各个正方形里，画四分之一圆弧，这些弧变形成等角螺线的轮廓。除了出现在艺术、建筑和自然界外，今天黄金矩形还在广告和商业等方面派上用场。许多包装采用黄金矩形的形状，能够更加应和公众的审美观点。例如标准的信用卡就近似于一个黄金矩形。黄金矩形还跟许多其他的数学观念相联系，诸如无穷数列、代数、园内接正十边形、柏拉图体、等角螺线、极限、黄金三角形和五角星形等等。活动：黄金矩形宽与长的比是（√5-1)/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（图2）等。下面我们就来折叠一个黄金矩形。第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图3的方法折出一个正方形，然后把纸片展平。第二步，如图4，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平。第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图5中所示的AD处。第四步，展平纸片，按照所得的D点折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形（图6）。你能说明为什么吗？（提示：设MN的长为2.）【1】设MN的长为2，则AC＝1，AD=AB=√5，CD=AD-AC=√5-1，矩形BCDE的宽与长的比为（√5-1)/2，它是一个黄金矩形。