小波分析的最新进展

高级数字信号处理题目：小波分析的最新进展姓名：学号：年级：专业：1小波分析的最新进展摘要:目前，小波分析的发展及应用引起人们的广泛关注。小波分析是国际上公认的最新时间——频率分析工具，由于其“自适应性”和“数学显微镜性质”而成为许多学科共同关注的焦点，对于信号处理及信急处理起着至关重要的作用。本文介绍了小波分析的产生和发展过程，小波及连续小波变换的概念，小波分析在信号处理中的应用以及未来的发展趋势。AbstractAtpresent,thedevelopmentandapplicationofwaveletanalysistocausewidespreadconcern.Waveletanalysisisthelatestinternationalrecognized--timefrequencyanalysistools,duetotheadaptiveandmathematicalmicroscopenatureandhasbecomethecommonfocusofattentionofmanydisciplines,forsignalprocessingandsignalprocessingplaysavitalroleinemergency.Thispaperintroducesthegenerationanddevelopmentprocessoftheconceptofwaveletanalysis,waveletandcontinuouswavelettransform,theapplicationofwaveletanalysisinsignalprocessingandthedevelopmenttrendinthefuture.关键词:小波分析信号处理发展趋势KeyWordsWaveletanalysisSignalprocessingDevelopmenttrend一、绪论波分析(WaveletAnalysis)是上世纪末数学研究的重要成果之一，其在时域和频域同时具有良好的局部化性质，可以聚焦到对象的任意细节。小波分析是一种时域－频域分析，它可以根据信号不同的频率成分，在时域和空间域自动调节取样的疏密：高频率时则密，低频率时则疏。从信号分析的角度讲，小波分析相当于用一族带通滤波器对信号进行滤波，这族滤波器的特点在于其Q值（中心频率/带宽）基本相同即随着小波变换的尺度减小，滤波器的中心频率向高频移动的同时，其通带宽度也随之增加。因此，小波分析具有广泛的应用领域，在未来具有广阔的发展前景。2二、小波的产生历史以及分析方法小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际经验的需要建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于当前的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法加多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（TenLecturesonWavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。3三、小波分析原理1.小波及连续小波变换1.1定义小波及连续小波变换(CWT)定义1：对于能量有限空间)(2RL中的函数)(t，若满足允许性条件：dwCw120，则称)(t为一个基本小波或小波母函数。令：,0,,),(1)(,aRbaabtatba称为由母函数)(t生成的依赖参数a,b连续小波。设)()(2RLtf,定义其连续小波变换为：dtabttfafbaWbaf)()(1,),(,（1）a为频率缩放参数，b为时间平移参数。尺度的缩放可以反映信号在不同频带上的表现，而平移量的改变则反映信号在一定频带上随时间的演变。1.2窗口函数与小波的局部性若小波函数)(t，具有有限的时频窗口，则称)(t为窗口小波函数。由（1）式，如果固定频率缩放参数a而令时间平移参数b变化，则对该式进行傅立叶变换，根据傅立叶变换性质可得：)()(),(afwfwaW据小波变换的定义，从时域来看，),(baWf是)(tf在连续小波)(,tba时窗内的积分值，反映的是)(tf在相应时窗内的信息。从频域来看),(waWf是信号)(tf在)(,tba的频窗内的带通滤波。a增大，频窗变窄，频窗中心变小，因此，通过进行各尺度上的小波变换可以把)(tf在各个频带内的信息成分都提取出来。42.离散二进小波变换及快速算法离散二进小波变换(DWT)。为了能用计算机对小波变换进行计算，需对小波变换进行离散化，著名的Littlewood-Paley理论为小波的二进划分提供了理论基础。定义2：若函数21LL，且存在二常数A，B使得：BAZkk2)2(，则：RkdttxtfxfxfWkk)2()(21)(*)(22,叫做f的二进小波变换。四、小波分析在信号处理中的应用1.二进小波消除信号白噪声在信号处理中，被监测信号往往与白噪声相混杂，它们之间的区分可利用二进小波变换来实现，白噪声是处处奇异的，小波变换对信号具有突变性的奇异点有非常敏感的反映，通过奇异性为依据，可用软件的方法来实现白噪声的剔除。奇异性的大小用Lipschits指数来衡量，随机噪声和有效信号本身的奇异点的Lipschits指数大小不同，从而它们的小波变换模的极大值在不同尺度下的传播行为不一样，利用这一点可将信号与白噪声分开达到去噪目的。1.1Lipschits指数定义3：Lipschits指数是指能量有限空间)(2RL中的函数)(xf在0x的某临域内对任意x有：00)()(xxAxfxf，其中A为常数，的大小反映了该点奇异性的大小。1时，则)(xf在某一点可导；10时，则)(xf在某点不连续但有限。值越大，函数在该点越光滑；值越小，表明函数在该点变化越剧烈。1.2白噪声在小波变换下的特性5可以证明，存在A0，使得在某点的临域内，f(x)的小波变换满足:)2()(2fAxfWf,两边取对数有：jKxfWf222log)(log,由此式可知，当某一点的0时，f(x)的小波变换在该点的模极大值将随着尺度的增大而增大。设n(X)为一时的、方差为2的宽平稳噪声。白噪声信号是一个几乎处处奇异的随机分布，且具有负的奇异指数0-21-，。白噪声小波变换模的平方取数学期望得：SdvdVXvXSWEsn)()()),((22,其中fS2。由（2）式可知，白噪声的小波变换模的极大值随尺度的增大而减小。1.3波变换除噪的实施算法对含噪声信号进行二进离散小波变换，所选尺度个数以最大尺度上信号的极值点个数占优且信号的重要奇异点不丢失为准；设最大尺度f2上的极值点的最大幅度为P，那么将幅度低于P/J的极大值点去掉；保留其它尺度上的对应奇异点的模极值点；对各个尺度的变换结果进行五点三次平滑；把保留的模极大值点回注到平滑结果中，并用Mallat重构算法恢复信号。2.小波分析的频谱细化2.1传统的频谱细化方法。频谱细化的方法目前有很多种,包Chinp-Z变换法、复调制细化法、YIP-ZOOM变换、相位补偿ZOOM-FFT变换方法等。复调制细化是将时域信号与单位复指数相乘，将实信号变为复信号，根据傅立叶变换的频移定理，信号频谱产生平移，把感兴趣频段的中心频率移到相应频谱的原点处，再通过低通滤波及重采样后，作FFT，便得到更高的分辨率。此方法要求分析信号要稳定，否则可比性和重现性较差。这种细化方法一般是在专用数据处理机上用硬件实现的。此方法中，需设计低通滤波器，而滤波则要卷积实现，计算量大，不易实现。62.2小波分析的频谱细化小波分析的频谱细化的方法和复调制细化的方法相差不多，主要在于滤波。小波变换具有频域带通特性，可以分离出信号的分析带宽。五、小波分析发展的趋势小波分析发展至今在信号处理中已取得了广泛的应用，且形成了一套实用的应用技术，显示了较强的生命力。之所以如此，是因其在理论上比以往的信号处理方法有难得的优势。小波分析可以随信号频率的变化而自动调节其时-频窗口，具有自适应变焦特性；多尺度分析可以用较高的精度来表示信号；信号的时-频域空间的最佳分解可由小波包分析得到。小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号