小波分析论文

多分辨率分析和Mallat算法摘要：多分辨率是小波优于傅里叶变换的重要特性，使小波成为“数学显微镜”，多分辨率分析将小波基的构造统一起来。Mallat算法是计算离散栅格上小波变换的快速算法，它的出现使小波从理论上升的实践。本文主要对多分辨率分析和Mallat算法进行分析，并给出其应用仿真实例。关键词：多分辨率分析Mallat算法应用仿真实例1引言小波变换的多分辨率分析是建立在函数概念上的理论，多分辨率分析（MultiresolutionAnalysis，MRA）概念是由S.Mallat和Y.Meyer在前人大量工作的基础上于1986年提出的，从空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，随着尺度由大到小变化，在各尺度上可以由粗到细的观察图像的不同特征。在大尺度时，观察到图像的轮廓，在小尺度的空间里，则可以观察图像的细节。1989年，Mallat在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特（Mallat）算法。多分辨率分析和Mallat算法构成了小波基础理论的重要板块，多分辨率分析从理论上说明了小波的自适应变频特性，也是构造小波滤波器的基础，Mallat算法使小波从理论走向工程，其功绩相当于FFT在傅里叶变换中的作用。2小波基本概念定义2.1小波的定义。定义时域具有紧支集（持续时间短）且平均值为零（不含直流分量）的函数为小波，通常用)(t表示。定义式为0dtt通常，)(t称为基本小波函数、母小波函数或小波母函数，简称小波函数、母小波等。由于上述定义是十分宽泛的，并不是所有满足定义的函数)(t都是具有价值的小波，若不加限制条件其逆变换也不一定存在，所以小波必须施加以限制条件，称为容许条件。定义2.2小波容许条件。假设)(t为小波母函数，则其傅里叶变换)(应满足dxCR2)(上述条件被称为小波函数容许条件。定义2.3连续小波变换定义。假设)()(2RLtf，)(t是连续小波母函数，)(,tba为连续小波基函数，则小波变换可定义为:dtabttfabaWTf)()(1),(离散小波定义即对尺度因子a和平移因子b分别离散化。3多分辨率分析和Mallat算法3.1多分辨率分析多分辨率分析首先并不是应用于小波分析上，它曾成功应用于地球物理学，S.Mallat和Y.Meyer在前人大量工作的基础上于1986年把多分辨率分析应用到小波上，统一了小波基的构造，有人说只要掌握多尺度就可以自己构造自己的小波。分析空间)(2RL中的多分辨率分析是指)(2RL中满足下列条件的一个序列zjjV。①单调性：对任意Zj,有1jjVV。②逼近性：0ZjjV，)(2RLVjj。③伸缩性：1)2()(jjVtfVtf，伸缩性体现了尺度的变换、逼近正交小波函数的变化和空间的变化具有一致性。④平移不变性：对任意Zk，有jjjjjjVktVt2222。⑤Riesz基存在性：存在0)(Vt，使得Zkjkt22构成jV的Riesz基。3.2Mallat算法分解算法：假定信号jVxf)(，即kkjkjxaxf)()(,,其中系数{kja,，Zk}为已知。如果我们希望将它分解为在1jV和1jW空间的两个分量之和，即)()()(,1,1,1,1xdxaxfkjkjkjkj也就是由已知序列{kja,}分别求出1j级的近似序列{kja,1}和1j级细节序列{kjd,1}。重构算法：当序列{kja,}和{kjd,}为已知时，重构信号)(xf在1jV空间中的分量)(1xAj就是利用这两个序列来计算序列{kja,1}。由)(,)(),(,1,,,11,1xdaxxAakjjljlljljkjjkjlkjjljllkjljljda,1,1,,,,四：仿真程序与仿真结果4.1一维信号的Mallat算法仿真程序与仿真结果程序：%一维信号的分解与重构loadnoisblocx=noisbloc;l=length(x);subplot(3,1,1);plot(x);title('原始信号')%信号的一级分解与重构[swa,swd]=swt(x,1,'db5');subplot(3,1,2);plot(swa);title('低频');subplot(3,1,3);plot(swd);title('高频');A0=iswt(swa,swd,'db5');err=norm(x-A0);figure(2);subplot(3,1,1);plot(x);title('原始信号');subplot(3,1,2);plot(A0);title('重构信号');subplot(3,1,3);plot(x-A0);title('误差信号');%信号的单支重构nulcfs=zeros(size(swa));A1=iswt(swa,nulcfs,'db5');D1=iswt(nulcfs,swd,'db5');figure(3);subplot(2,1,1);plot(A1);title('重构低频');subplot(2,1,2);plot(D1);title('重构高频');%信号的多级分解[swa,swd]=swt(x,3,'db5');kp=0;figure(4);fori=1:3subplot(3,2,kp+1),plot(swa(i,:));title(['低频系数:level',num2str(i)]);subplot(3,2,kp+2),plot(swd(i,:));title(['高频系数:level',num2str(i)]);kp=kp+2;end仿真结果：020040060080010001200-50050原始信号020040060080010001200-50050低频020040060080010001200-10010高频020040060080010001200-50050原始信号020040060080010001200-50050重构信号020040060080010001200-202x10-11误差信号020040060080010001200-100102030重构低频020040060080010001200-505重构高频050010001500-50050低频系数:level1050010001500-10010高频系数:level1050010001500-50050低频系数:level2050010001500-10010高频系数:level2050010001500-1000100低频系数:level3050010001500-20020高频系数:level34.2二维维信号的Mallat算法仿真程序与仿真结果程序：%二维信号的分解与重构loadbelmont2;nbcol=size(map,1);%图像的多尺度小波分解[C,S]=wavedec2(X,2,'bior3.7');%提取系数的低频和高频部分cA2=appcoef2(C,S,'bior3.7',2);%单支重构A2=wrcoef2('a',C,S,'bior3.7',2);A1=wrcoef2('a',C,S,'bior3.7',1);H1=wrcoef2('h',C,S,'bior3.7',1);V1=wrcoef2('v',C,S,'bior3.7',1);D1=wrcoef2('d',C,S,'bior3.7',1);H2=wrcoef2('h',C,S,'bior3.7',2);V2=wrcoef2('v',C,S,'bior3.7',2);D2=wrcoef2('d',C,S,'bior3.7',2);%显示多尺度分解结果figurecolormap(map);subplot(2,4,1);image(wcodemat(A1,nbcol));title('低频A1');subplot(2,4,2);image(wcodemat(H1,nbcol));title('水平高频H1');subplot(2,4,3);image(wcodemat(V1,nbcol));title('垂直高频V1');subplot(2,4,4);image(wcodemat(D1,nbcol));title('对角高频D1');subplot(2,4,5);image(wcodemat(A2,nbcol));title('低频A2');subplot(2,4,6);image(wcodemat(H2,nbcol));title('水平高频H2');subplot(2,4,7);image(wcodemat(V2,nbcol));title('垂直高频V2');subplot(2,4,8);image(wcodemat(D2,nbcol));title('对角高频D2');%重构原始图像X0=waverec2(C,S,'bior3.7');figure(2);colormap(map);subplot(2,1,1);image(X);title('原始图像');subplot(2,1,2);image(X0);title('重构图像');结果：原始图像5010015020025030050100150200重构图像5010015020025030050100150200单支分解与重构：低频A110020030050100150200水平高频H110020030050100150200垂直高频V110020030050100150200对角高频D110020030050100150200低频A210020030050100150200水平高频H210020030050100150200垂直高频V210020030050100150200对角高频D210020030050100150200五：结束语通过对小波课程的学习掌握了一门时频分析工具，学会了对一维信号与二维信号的多尺度分解与重构。在学习小波课程中遇到了许多困难，对小波的理解也不够深刻，以后会进一步加强学习。参考文献：[1]S.Mallat.ATheoryforMultiresolutionSignalDecomposition:TheWaveletRepresentation.IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachingIntelligence,1989.7[2]S.Mallat.MultiresolutionApproximationsandWaveletOrthonormalbasesofL2(R).IEEETransactionsonPatternAnalysisandMachingIntelligence,1989.7[3]彭玉华.小波变换与工程应用.北京：科学出版社，1999.9[4]葛哲学，沙威.小波分析理论与MatlabR2007实现.北京：电子工业出版社，2007.10