小波分析教案第1章

小波分析及其应用重庆大学唐晓初2001．31第一章信号的时间—频率分析信号实际上是传递信息的某种具体物理过程，例如当人们交谈时，传递信息的语音信号就是空气振动这样一个物理过程。在信号分析和处理领域，信号被表示为时间或空间的函数。例如语音通过微音器之后转换为一个随时间变化的电压信号。最常用的信号分析方法是寻找一种简单有效的变换，使信号所包含的重要特征在变换域能更直接的显示出来。在小波变换兴起之前，傅里叶变换是信号分析最重要的数学方法。傅里叶变换实际上是将时间信号展开为不同频率正弦信号的线性迭加。从信号的傅里叶变换，能看出信号各种不同频率成份的强弱，信号能量在频率域的分布。傅里叶变换的核函数是正弦函数，它在时间域上是无限的，非局域的。而小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性迭加。小波变换的核函数是小波函数，它在时间域和频率域都是局域化的。这正是小波变换和传统傅里叶变换的本质区别。也正是因为小波变换在时间—频率域内都是局域化的，所以小波变换可对信号同时在时间—频率域内进行分析。1.1傅里叶变换首先，让我们回顾一下传统的傅立叶变换dtetfFtj)()(（1.1）dteFtftj)(21)(（1.2）注意（1.1）式中对时间t的积分是在整个时间轴上，即为了获得信号中某一特定频率分量的信息，我们必须知道信号在整个时间过程中的变化情况。也就是说，它在时域内是非局域的。即使信号)(tf的持续时间是有限的，由于傅里叶变换的核函数tje在时域内是无限的，（1.1）式中也必须在信号的整个持续时间内积分，傅里叶分析也仍然是非局域的。从上述分析可以看到,)(tf描述了信号的时域特征，而)(F描述了信号的频域特征。也就是说，要么在时域，要么在频域描述信号的特征。但在许多实际问题中，我们关心的却是信号在局部范围内的特征：例如音乐和语音信号中人们关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的音节；对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图像处理中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。尤其对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频率特性都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上来分析都是不够的。由于傅里叶分析完成上述任务存在其故有的困难，这就需要所谓的时间—频率分析方法，亦称为时频分析方法。由于傅里叶变换在时域内是非局域的，不太适宜于暂态的、非平稳信号的分析。针对暂态的、非平稳信号的分析，曾经出现过许多改进的办法，其中比较有成效的有Wigner—Ville分布和加窗傅里叶变换两种，前者是一种非线性二次型变换，与小波变换的概念相去甚远。2而D.Gabor于1946年提出的加窗傅里叶变换在非平稳信号的分析中起过很好的的作用，而且与小波变换有很多相似之处。所以在学习小波变换之前，有必要了解一下加窗傅里叶变换。1.2加窗傅里叶变换传统的傅里叶变换是对信号在整个时间过程中变化情况的分析。它在时域内是全局化的、非局域的。其原因在于傅里叶变换的核函数正弦函数在时域内是无限的。显然，将正弦函数乘以一个时域内衰减很快的函数之后作为核函数是一种合理的改进方法,这种衰减很快的函数我们称为窗函数，以)(tg表示。一般来说，)(tg是一个实偶函数，且其能量主要集中在原点附近。例如均值为零的高斯函数，就是一个常用的窗函数。为了能实现对信号在整个时间过程中任意局部范围内变化情况的分析，应将窗函数应沿时间轴移动，得)(tg，其能量主要集中在附近。对任意一个能量有限信号)()(2RLtf，其加窗傅里叶变换定义为dtetgtfGftjR)()(),(（1.3）式中)(tg是一个实偶函数，譬如说高斯函数，它的能量主要集中在原点附近。所以加窗傅里叶变换给出了信号在附近的频率信息。由上式可以看到，加窗傅里叶变换确实是传统傅里叶变换的一种改进，即核函数由tje改进为tjetgtg)()(,（1.4）另一方面，我们也可以把加窗傅里叶变换理解为信号)(tf乘以窗函数)(tg后得到的时间函数)(tf)(tg的傅里叶变换。由于窗函数的局域性，所以（1.3）式中的积分实质上只在附近的一段时间内进行。也就是说，加窗傅里叶变换给出了信号在t附近的一段时间内的频率信息。现在我们可以看到，加窗傅里叶变换在时域内是局域化的。也正是由于这个性质，加窗傅里叶变换又称为短时（Short-time）傅里叶变换。根据希尔伯特空间中内积的定义，加窗傅里叶变换也可以写成内积形式：)(),(),(,tgtfGf（1.5）应该注意，加窗傅里叶变换是频率和时间平移量的二元函数，所以信号)(tf的加窗傅里叶变换),(Gf是对信号)(tf在时间—频率域内的联合分析。而信号)(tf的傅里叶变换)(F仅是频率的函数，所以传统的傅里叶变换仅是对信号在频率域内的分析。3为了更清楚地了解加窗傅里叶变换在时间—频率域的性质，我们有必要先分析其核函数（1.4）式的性质。由于窗函数)(tg应选择为一平滑函数，所以其傅里叶变换gˆ为一低通滤波器。那么tjetgtg000)()(0,（1.6）的傅里叶变换为000)(ˆ)(ˆ0,jegg（1.7）它显然是中心频率为0的带通滤波器。由（1.3）式可以得到在时间—频率平面内点),(00的加窗傅里叶变换RtjRdtetgtfdttgtfGf00,0)()()(),(0_________00（1.8）其中横线表示取共轭。由上式可以明显看出加窗傅里叶变换在时域内的局域性。应用巴塞瓦定理，由上式可得：RjtRdegfdgfGf00,0____________0____________00)(ˆ)(ˆ21ˆ)(ˆ21),(（1.9）由于___________0)(ˆg仍是中心频率为0的带通滤波器，所以),(00Gf可以解释为提取了信号在0t附近一段时间内在0附近一段频率内的信息，也就是说，加窗傅里叶变换不仅在时域内是局域化的，而且在频域内也是局域化的。或者说，加窗傅里叶变换是对信号在时间—频率域内进行联合分析。为了更形象地说明这种联合分析，我们引入时—频窗的概念，如图1.1所示。为了定量地说明时—频窗的性质，我们定义：RRtdgdttgt222222)(ˆ)(（1.10）t和分别称为)(tg和)(ˆg的标准差，他们描述了图1.1所示时—频窗的宽度。对加窗傅里叶变换，其时—频窗的中心可以分别由（1.8）和（1.9）式中的变量0和0来调节。但时—频窗的的宽度与窗的中心0和0无关，是固定不变的，如（1.10）所示。4为了提高加窗傅里叶变换的精度，我们自然希望时—频窗的宽度在两个方向都同时变窄。但同时在时—频域内提高精度是有限制的，著名的测不准原理告诉我们：222t（1.11）当且仅当窗函数为高斯函数时，上式中的等号成立。和量子力学中的测不准原理一样，我们不能无限地同时提高时—频率域内的测试精度。这并不是由于测试仪器的限制，而是具有深刻的物理含义的。讨论某一时刻的频率是多少是没有意义的。从数学的角度看，加窗傅里叶变换是将任一)(2RL空间中的函数)(tf映射为)(22RL空间中的一个函数),(Gf。应用巴塞瓦定理可以证明：RRdtdGfdttf222),(21)(（1.12）上式说明，经过加窗傅里叶变换之后，范数保持不变（带有一固定的比例系数），故加窗傅里叶变换具有唯一的反演公式：ddetgGftfRtj2)(),(21)(（1.13）上式也称为加窗傅里叶变换的反变换。应该注意，（1.12）隐含着如下意义：经过加窗傅里叶变换之后，并未丢失信息，只不过是将时间信号)(tf所携带的信息在时间—频率域内用),(Gf表示出来，也正是因为加窗傅里叶变换未丢失信息，所以可以通过反变换将信号完整地恢复出来。1.3连续小波变换21twt12图1.1加窗傅氏变换的时频窗5加窗傅里叶变换实现了信号在时间—频率域内局域化的联合分析，但是其时间—频率窗的宽度却是固定不变的。在加窗傅里叶变换中，我们当然可以选择不同类型的窗函数，或者是调整窗函数的参数，例如可以调整高斯函数的方差。但是一旦窗函数的类型及参数确定之后，唯一可以调整的就是平移量，而变量只能改变窗沿时间轴的位置，不能改变时—频窗的宽度。加窗傅里叶变换中的变量ω也仅仅是改变窗沿频率轴的位置，对时—频窗的宽度没有影响。时—频窗的宽度是由窗函数的类型及其参数确定的。这样加窗傅里叶变换就不能适应许多复杂的信号分析和处理。上述这些性质都是由加窗傅里叶变换的核函数决定的。下面我们将要详细讨论的连续小波变换也是信号在时间—频率域内局域化联合分析的一种方法。首先我们将引入小波的概念，说明小波是一种持续时间很短的波。在小波分析的所有文献著作中，均用)(t表示小波，将按（1.16）式伸缩和平移而得到的一族函数)(,tba称为分析小波。以)(,tba为核函数的积分变换，如（1.17）式所示，正是本节要讨论的小波变换。需要特别强调的是，小波变换的时间—频率窗不是固定不变的，而是可以自适应调整的。这是小波变换和加窗傅里叶变换的根本区别。也正是由于这个特点，决定了小波分析在实际应用中的独特地位。前面已提到，小波是一种持续时间很短的波。但并不是任意持续时间很短的波都是小波。小波必须满足以下允许条件。设)(t的傅里叶变换为)(ˆ，则允许条件表示为dCRˆ（1.14）满足上式的时间函数)(t称为母小波或基小波，通常简称为小波。要满足允许条件，)(t的傅里叶变换)(ˆ在0（直流）处的值必须为零，即)0(ˆ=0。由傅里叶变换的定义不难得到：Rdtt0)(（1.15）由上式可以清楚地看到，)(t必须时正时负地波动，否则，)(t的积分不会为零。在实际应用中，我们要求t时，)(t速降为零。也就是说，小波是持续时间很短的衰减振荡，它在时间域内是局域的。正弦波也时正时负地波动，但是它是一种等幅的波动，在时间上是无限的，它显然不满足（1.15）式。“小波”不是指其波动的幅度很小，而是持续时间很短。在频率域，我们同样也要求时，)(ˆ速降为零，这也是允许条件（1.14）式对)(ˆ6的约束。再注意到0)0(ˆ，可见)(ˆ为一带通滤波器的频率特性。这就是说，小波在频率域内也是局域的。小波在时间域和频率域都是局域的，这是小波最重要的特性。小波在时—频域内的局域性实际是其能量在时—频域内的集中性，主要是时域内集中于某一时刻附近。将母小波伸缩和平移之后得到的函数族abtatba1)(,RbRa,(1.16)称为分析小波。式中a为伸缩参数或尺度参数，取正实数。当a〉1时，沿时间轴方向拉伸。当a〈1时，沿时间轴方向压缩。因子a1是为保持伸缩之后能量不变，或者说范数不变，即)()(,ttba。b为平移参数，可以取任意实数。实际上，加窗傅里叶变换中不同频率可理解为正弦函数疏密程度的不同，也可以理解为是沿时间轴的伸缩。只不过加窗傅里叶变换中的伸缩和平移是分别针对正弦函数和窗函数的，而小波变换中伸缩和平移都是针对小波函数的。图1.2中，中间波形为母小波)(t，其对称中心位于0；左面为a=2，b=－8时的)(,tba；右面为a=1/2，b=5时的)(,tba。图1.2分析小波7对任一能量有限信号)()(2RLtf，其连续小波变换定义为：)(),()(1),(,ttfdtabttfabaWfbaR（1.17）实际使用的小波函数中大部分都是实函数，这时上式中取共轭的符号也可以没有。我们可以看到，连续小波变换和传统的傅里叶变换及加窗傅里叶变换其数学描述方法是类似的，都是取信号和核函数的积分