小波变换与多分辨分析

1第七章小波变换与多分辨分析•背景知识•子带编码•多分辨展开•小波变换•小波包2小波分析发展历史1807年Fourier提出傅里叶分析，1822年发表“热传导解析理论”论文1910年Haar提出最简单的小波1980年Morlet首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨率分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。3问题1.为什么要研究小波变换？优点？2.图像如何进行多分辨处理与小波表示？4正弦波和小波（a）正弦波曲线；(b)小波曲线……(a)(b)56与傅里叶变换相比，小波变换的优点：1.小波变换同时提供了信号的时间-频率信息，而DFT只是提供了频率信息。2.小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解，而傅里叶变换的基函数为三角函数。3.小波变换为原始信号提供了多分辨表达能力，在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。7图像变换•每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换傅里叶变换余弦变换正弦变换图像变换哈达玛变换沃尔什变换K-L变换小波变换87.1背景知识7.1.1图像金字塔金字塔算法一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合一个金字塔图像结构金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。9建立金字塔的方框图10高斯和拉普拉斯金字塔编码首先对图像用高斯脉冲响应作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失。11双通道子带编码和重建0h1h22()xn0()yn1()yn22'0h'1h~()xn7.1.2子带编码子带：一幅图像被分解成一系列带限分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。12子带图像编码的二维4频段滤波器组二维子带编码和解码13•哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。•哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=HFHT其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果7.1.3哈尔(Haar)变换144111111111220040022H4x4Haar变换矩阵158×8的Haar变换矩阵为：81111111111111111222200000100002222822000000002200000000220000000022H16•哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解177.2多分辨率展开•函数的伸缩和平移给定一个基本函数,则的伸缩和平移公式可记为：()x,()()abxaxb()x182,2sin()02()0()xxxx例：给定函数其它则的波形如下图所示≤函数的伸缩和平移19•序列展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。()()kkkfxax其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数，是具有实数值的展开函数()kx20•尺度函数2/2,,,,/2,()()()()2(2),{()}()()()2()()jjjkjkjkjkjjkxxLxxkjzkzxxkxxjxxxjxR设是平方可积函数，即，实数二值尺度伸缩和整数平移函数定义为：则集合是的展开函数集。从上式可以看出，决定了在轴的位置，决定了的宽度，即沿轴的宽或窄的程度，而控制其高度或幅度。由于的形状随发生变化，被称为尺度函数。21•小波函数给定尺度函数，则小波函数所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。定义小波集合，()x,{()}jjkkWspanx,{()}jjkkVspanx,{()}jkx2,()2(2)jjjkxxk22令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。尺度及小波函数空间的关系23第一讲核心知识点[1]小波变换与DFT变换相比优点是什么？为什么引入图象变换？[2]金字塔分解与子带编码的关系如何？[3]多分辨展开为什么引入尺度函数，尺度函数存在什么特点？小波函数与尺度函数的关系是什么？247.3一维小波变换•一维离散小波变换（DWT）000010,01,00211210,,001(,)()()1(,)()()11()(,)()(,)()0jjMjknMjknJjkjkkjjkWjkfnnMWjkfnnMjjfnWjknWjknMMj正变换：反变换：对于，有通常的小波变换是指的情况≥252020/2()/2()2ittteeeMorlet小波：222/242/22()(1)3223ttteeMexihat小波：267.4快速小波变换算法Mallat离散小波变换算法27Mallat离散小波逆变换287.5二维离散小波变换•对于M×N的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：000110,,0011,,000,,3,,101(,,)(,)(,)1(,,)(,)(,){1,2,3}1(,)(,,)(,)1(,,)(,)MNjmnxyMNlljmnxyjmnmnlljmnljjmnWjmnfxyxyMNWjmnfxyxylMNfxyWjmnxyMNWjmnxyMNjj正变换：反变换：是任意开始尺度，通常取002,0,1,,10,1,,21JjMNjJmn，且选择和29二维离散小波变换的一次分解30图像的二维离散小波变换317.6小波包分解32思考：高频成分Wj-1以及Wj-2可以继续分解吗？33小波包分解分析树34小波包分解的频谱分离特征35思考问题1？Howtorealizeimagedenoising36思考问题2？如何去除文字信息得到比较清晰的企鹅图片？37HOWToDOInpainting?38[1]小波变换中为什么引入下采样？正变换以及逆变换的物理含义是什么？二维小波变换与一维小波变换的关系怎样？[2]怎样进行二维离散小波变换？图像二维小波变换各子带的意义？[3]小波包分解与小波变换最大不同在哪里？为什么要引入小波包分解？第二讲核心知识点