小波变换中多分辨逼近相关性质

第八章多分辨逼近中的一些重要关系杨昊张朋于芳源徐亚峰邱中原1多分辨逼近生成元及其性质2正交尺度函数和正交小波的性质3关于构造尺度函数的讨论目录CONTENTS基。的是Riesz)}({,)(3;)2()(2);(},0{,100121VntVtVtVtRLVVVVjjmzmmzmjjzjjV}{多分辨逼近（MRA）是构造、研究和应用小波的基本框架，为了便于从理论分析角度构造小波，必须讨论多多分辨逼近中的一些重要的关系。8.1多分辨逼近生成元及其性质所谓的二进的多分辨逼近是指满足下述条件的函数现行空间序列：条件3描述了函数线性空间的构造形式，即由此可从多个方面分析总结有关的性质。（1）是节点基函数，它满足最低要求在细密划分下，节点基函数的这种性质就表现为0V}.),({,)()(0000ZkktspanVVktctfZkk)(t)}({kt;1)(,0;1)(ZkZkktkt又知令1)(dttR20200||||)(||Zkkctf2020020020||||)(||||)(||||kkkkkkcBktctfcA（2）从衰减表现方面分析。由于是由的线性组合形式表示的，所以有是具有快速衰减表现的。（3）从是Risez基方面分析。一方面，当是平移标准正交基时，对，有；另一方面，用标准平移正交基或用非平移正交基做线性组合表示时，其是相互等价的，所以应满足式（4.4）所描述的Risez基表现。综上所述，又条件3可知，应满足下述性质：（8.1）（8.2）（8.3）条件2表明，这样在归一化时，条件2描述了函数线性空间的构造形式，即特别值得注意的是，由于可由的基函数线性表示，故条件2隐含着双尺度方程或（8.4）)(t)(0tf)(kt)(),()(20tRLtf)}({kt)}({kt)()(20RLtf)(0tf200||)(||tf)(tRdtt1)()()(,1)(2RLtktzk10)2(,)(VtVtkjt,)(jV),()(),()(),2(2)(},),({2,2,,RLVtftctfkttZktspanVjjkjkjkjjjkjkjjjkjjjVtVV)(,,11jV)(22)2()(,1thnthtnnnnn)(22)(2,1,thtnkjnnkj22,22||||||||)(||||jkkkjjkkjjkkcBctfcA)(}{2RLVj)()(,)(),()(2RLtfVtftftfjjj,211)(,/,jZjjjjjjjWRLVVWWVV同样，由是的Riesz基可推知是的Riesz基，即：（8.5）条件2实质上是强调了和之间的传递关系。条件1描述了函数子空间序列的逼近性质即同样描述了条件1~3一起表明了的按小波子空间的直和分解关系，即（8.6）以上是多分辨逼近生成元时域内的性质，以下讨论在频域中的性质。Riesz基定义式（8.3）等价于（8.7）对于可看做和的卷积形式，其Fourier变换为)}({nt0V}{,kjjVjV1jV)(2RL)(t)(^BnAn2|)2(ˆ|)()(,)(0000ktctfVtfkk}{0kc)}({kt000ˆ()()ˆ()ˆ()()itkRkikkkffctkedtceH其中，是以为周期的中的函数，即，而且其中用到了的正交性质，于是：再利用Riesz基定义式（8.3），就有综合以上三式，有最后利用是任意的且就可证得式（8.7）.0()ikfkkHce22)(LHf20202||2|||)(|kkikkkfcdecdH}{ike2)(2RLdnHdnHdHdftfnffnfRR2222222020|)2(ˆ||)(|21|)2(ˆ||)(|21|)(ˆ||)(|21|)(ˆ|21||)(||,|)(|2||||)(||,|)(|2||||)(||2202022020dHAcAtfdHBcBtffkkfkk.0)|)2(ˆ|(|)(|,0)|)2(ˆ|(|)(|2222dBnHdAnHnfnf22)(LHf0|)(|2fH同样可证式（8.7）与式（8.3）等价。在时域时中，生成元满足式（8.1），频域中可认为是在时的表现，即故有（8.8）对于式（8.4），两边作Fourier变换，得其频域中的表现为（8.9）其中，是频域中的低通滤波器。接下来证式（8.9）是推演性的若在式（8.4）中令，则上面的推演结果为式（8.9）。是在频域中的表征，可通过的离散Fourier变换得到。由式（8.8）和式（8.9）可简单推得（8.10）（8.11）接下来，我们从物理的角度得到的一些直观认识（1）和分别是低通和高通函数)0(ˆ)()(0dtetdtttiRR1)0(ˆ)(ˆ)()2(ˆHinnnehH21)()(t)(^0)2(ˆ)2()2()2(21)2()(ˆ)2(22HntdentehdtenthntiRninntinnR2/~tt.)2()(ˆ,21)0(,21)(1jjninnHhHehH)(H}{nh}{nh)(t)(t)(t))(ˆ),(ˆ(21))(),((fttf（2）和分别是频域的低通和高通滤波器（3）和分别是低通和高通数字滤波器，综上所述，在多分辨逼近结构中，有生成元所满足的双尺度方程可推导出卷积函数、频域滤波器和数字滤波器的相应性质和公式，归类列出如下：关于低通函数和高通函数，有关于频域低通器和频域高通滤波器，有)(H)(G)(ˆ)()2(ˆH)(ˆ)()2(ˆG}{nh}{ng)2()(nthtnn10(2),().tnVtV)2()(ntgtnn./)(,)2(0101VVWtVnt)(t)(t.1)(,1)(,1)(),2()(kktdttnthtkkRnn.0)(,0)(,0)(),2()(kktdttntgtkkRnnBnAn2|)2(ˆ|)(H)(G,0)0(,21)(),(ˆ)()2(ˆGegGGninn,1)0(,21)(),(ˆ)()2(ˆHehHHninn关于低通数字滤波器和高通数字滤波器，有8.2正交尺度函数和正交小波的性质在二进关系下，的构造形式为利用，可推知其中，当时（8.12）若多分辨逼近尺度函数是标准正交的，则可推知都是正交的，从而MRA所确定的式（8.6）是正交小波子空间分解，且推导是见4.3节。}{nh}{ng快速衰减}{,2nnnhh震荡且快速衰减}{,0nnngg),2(2)(),2(2)(2/,2/,kttkttjjkjjjkj.22)(,22)(2,1,2,1,nkjnnkjnkjnnkjgtht).2()(),2()(ntgtnthtnnnnjkjjkjWtVt)()(,,和1jjVV1jjVW0,0kj.,;,ZjWVmjWWjjmj0)(VtjkjjkjWtVtWt)(,)(,)(,,0.))(),((,0))(),((,))(),((,,,,,,,,,nkmjnmkjnjkjnknjkjtttttt这些正交表现为（8.13）（8.14）（8.15）标准正交尺度函数也是Riesz基，与式（8.3）相对应，有（8.16）标准正交的和满足双尺度方程式（8.12），其标准的正交表现式（8.13）和式（8.15），分别等价于（8.17）（8.18）关于和的关系还满足（8.19）下面讨论正交尺度函数和正交小波在频域中的表现和有关性质。)(t.||||)(||||)(||20200200kkkkcktctf)(t)(t.21,21,02,02kknnnkknnngghh)(t)(t)(ˆw)(ˆ}{nh}{ng.)1(,0,21nnnnnnnhggh利用尺度函数标准正交性，有把上式看做关于的Fourier逆变换，于是有（8.20）从而看出一般尺度函数和标准正交尺度函数在性质表现方面的一些区别和联系。标准正交基所满足的双尺度方程式（8.12）在频域中的表现为（8.21）（8.22）其中，是周期为的函数。)(tdendendedkdtkttikniknikRRRk]|)2(ˆ|[21|)2(ˆ|21|)(ˆ|21)(ˆ)(ˆ21)()(222,0][.1|)2(ˆ||)(ˆ|21)()(22,0,0ndedtkttnikRkRkˆˆ(2)()(),ˆ(2)()().HGinnninnneGGehH21)(,21)(2在和标准正交的条件下，和满足下述关系：（8.23）（8.24）事实上，有式（8.20）和式（8.21）可推得式（8.23），此时同样，可由式（8.20）和式（8.21）推得式（8.24）。从另一个角度看，在多分辨逼近框架下，式（8.23）和（8.24）既可分别被认为是的标准正交基双尺度方程在频域中的表现，也可认为它们分别与式（8.13）和式（8.14）等价。在时域中已由式（8.14）所表现，在频域中它的等价形式为（8.25）上式的证明过程与式（8.23）类似，即)(t)(t)(H)(G.1|)(||)(|,1|)(||)(|2222GGHH.|)(||)(||)2(ˆ||)(||)2(ˆ||)(||))12((ˆ||))12((||)2(ˆ||)2(||)(ˆ||)(||)22(ˆ||)2(ˆ|122222222222222HHkHkHkkHkkHnnHnnkkkknnn00W}{)}({）（和ntVnt00WV0)()()()(GHGHdenHGHGdennHnGnnHnGdennHnGdennHnGdeHGdekttikniknnikniknikRikR222222|)(ˆ|)]()()()([21|)2(ˆ|)2()2(|)2(ˆ|)2()2([21|)(ˆ|)()(21|)2(ˆ|)2()2(21|)2(ˆ|)2()2(21)(ˆ)(ˆ21))(),((0在上式的公式推演中用到了和这些周期函数的性质。另外，上式对于任意成立，由此证得式（8.25）成立。同样，式（8.25）也可看做式（8.14）在频域中的表现对正交尺度函数和正交小波，还可进一步讨论关于和的联系，取（8.26）显然，这样的