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01国内外研究现状小波变换的理论是在20世纪80年代后期兴起的新的数学分支，他是继Fourier变换后又一里程碑式的发展。他是空间和频率的局部变换，能更加有效地提取信号和分析局部信号。作为一种新兴的信息处理方法，小波变换已经广泛应用于包括图像处理在内的诸多领域。长期以来大家都在研究把任意的一个函数表示成一组函数族的线性组合，这样的话，就可以把对原函数的分析转化为对函数族的研究了，而此函数族有着很好的分析性质。为什么可以表示成一组函数组的线性组合呢？其实就是最佳逼近问题，也就是说针对一个具体的函数我用一组函数族（比如三角函数族）的线性组合可以任意的逼近它（当然还有收敛的问题）方面人们发现傅立叶变换只有频域的信息，时域信息很难同时得到对于那些想要在频域和时Haar）发现了小波，并被命名为哈尔小波（Haarwavelets）。20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换WT（wavelettransform）的概念。在众多的小波中，选择什么样的小波对信号进行分析是一个至关重要的问题。使用的小波不同，分析得到数据也不同，这是关系到能否达到使用小波分析的目的问题。下面介绍了小波分析的基本概念和基本理论，阐述了利用小波变换进行图像压缩是一种有效的方法,为了进一步说明,本文先讲序一个利用小波压缩函数进行图像压缩的例子，然后再演示一个利用小波分解去掉图像的高频部分而只保留低频部分从而进行图像压缩的例子。并通过MATLAB举例证明了经过小波变换编解码的图像在实现高压缩率的情况下能够保证很好的图像质量，具有较好的视觉效果。2小波变换小波变换的诞生数字图像信号包含巨大的信息量，而信道带宽和存储空间的限制给实际应用带来了很大困难，因此图像数据的压缩就变得极为重要。而普遍应用的图像数据压缩技术是以离散余弦变换（DCT）为代表的，该压缩算法在大的压缩比及低比特率的环境时会出现明显的“方块效应”和“蚊式噪声”，同时由于DCT必须存储基本函数，且在运算过程中存在舍入误差，故解压精度受到极大影响；另外一种常用的图像压缩编码算法是以Fourier变换为基础的变换编码，该算法将时域信号变换到频域信号上进行处理，但Fourier变换却不能较好地解决突变上的取样步长是调节性的,高频者小、低频者大,因此在实际应用中完全可以根据需要将图像或信号分解到一些合适的尺度成分上,然后再根据不同的要作适当的编码。因此,小波变换是一种能够获得较好图像复原质量与压缩比的、能够适应未来发展的变换技术,已经成为当今图像压缩编码的主要研究方向。小波变换的理论是在20世纪80年代后期兴起的新的数学分支，他是继Fourier变换后又一里程碑式的发展。他是空间和频率的局部变换，能更加有效地提取信号和分析局部信号。作为一种新兴的信息处理方法，小波变换已经广泛应用于包括图像处理在内的诸多领域。为了继承Fourier分析（余弦变换和正弦变换都可以视为Fourier变换的特例）的优点，同时又克服它的许多缺点，人们一直在寻找新的方法。1980年法国科学家Morlet首先提出了小波变换WT（WaveletTransform），引起了许多数学家和工程师的极大关注。近十多年来经过许多数学家和工程技术人员的努力探索，这门学科的理论基础已经建立，并成为当前应用数学发展的一个新的领域。与Fourier分析相比，小波变换是时间和频率的局域变换，能更加有效地提取信号和分析局部信号。类似于Fourier分析，在小波分析中也有两个重要的数学实体：“积分小波变换”和“小波级数”。积分小波变换是基小波的某个函数的反射膨胀卷积，而小波级数是称为小波基的一个函数，用两种很简单的运算——“二进制膨胀”与“整数平移”表示。通过这种膨胀和平移运算可以对信号进行多尺度的细致的动态分析，从而能够解决Fourier变换不能解决的许多困难问题。利用小波变换可以一次变换整幅图像，不仅可以达到很高的压缩比，而且于不同分辨率的图像I/O设备和不同传输速率的通信系统。相比之下，利用KL变换进行压缩编码，只能对整幅图像进行；而利用小波变换则能够比较精确地进行图像拼接，因此对较大的图像可以进行分块处理，然后再进行拼接。显然，这种处理方式为图像的并行处理提供了理论依据。术提供了分辨率的可缩放性，以便处理在交互应用场合广泛的观察条件，以及把2D图像映射到3D虚拟空间。综上所述，由于小波变换继承了Fourier分析的优点，同时又克服它的许多缺点，所以它在静态和动态图像压缩领域得到广泛的应用，并且已经成为某些图像压缩国际标准（如MPEG-4）的重要环节。当然，像其他变换编码一样，在压缩比特别高的时候，小波变换压缩量化后的重建图像也会产生几何畸变。由于小波分析克服了Fourier分析的许多弱点，因此它不仅可以用于图像压缩，还可以用于许多其他领域，如信号分析、静态图像识别、计算机视觉、声音3压缩与合成、视频图像分析、CT成像、地震勘探和分形力学等领域。总之，可以说凡能用Fourier分析的地方，都可以进行小波分析。小波分析应用前景十分广阔。当前，小波研究的一个迫切问题是如何将小波研究所取得的重要成果变为工程技术人员所掌握的重要工具，使之尽快应用到工程技术实践中去，特别是将小波分析很好地用于多媒体图像和信号处理。这些年来关于小波变换图像压缩算法的研究和应用都十分活跃。国外一些公司将这种技术用于Internet环境中的图像数据传输，提供商业化的服务，对于缓解网络带宽不足、加快图像信息传播速度起到了很好的推进作用。图文资料数字化必然会产生大量的图像数据,对于高比率图像压缩算法的需求尤为迫切。作为一种优秀的图像压缩算法，小波变换在这一领域具有非常好的应用前景，也应该能够发挥关键性的作用，同时也必将对这种技术在我国的推广和应用起到有力的推动作用。4小波变换的原理我们知道，图像压缩就是要寻找高压缩比、并使压缩后的图像有合适的信噪小波图像压缩的特点是压缩比高，压缩速度快，能量损失低，能保持图像的基本特征，且信号传递过程抗干扰性强，可实现累进传输。首先我们简单了解一下二维小波变换的塔式结构。我们知道，一维小波变换其实是将一维原始信号分别经过低通滤波频部分L和高频部分H。而根据Mallat算法，二维小波变换可以用一系列的一维小波变换得到。对一幅m行n列的图像，二维小波变换的过程是先对图像的每一行做一维小波变换，得到L和H两个对半部分；然后对得到的LH图像（仍是m行n列）的每一列做一维小波变换。这样经过一级小波变换后的图像就可以分为LL，HL，LH，HH四个部分，如下图所示，就是一级二维小波变换的塔式结构：而二级、三级以至更高级的二维小波变换则是对上一级小波变换后图像的左上角部分（LL部分）再进行一级二维小波变换，是一个递归过程。下图是三级二维小波变换的塔式结构图：一个图像经过小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率也不同。高分辨率（即高频）子图像上大部分点的数值都接近于0，分辨率越高，这种现象越明显。要注意的是，在N级二维小波分解中，分解级别越高的子图像，频率越低。例如图2的三级塔式结构中，子图像HL2、LH2、HH2型，我们可以得到以下三种简单的图像压缩方案。方案一：舍高频，取低频一幅图像最主要的表现部分是低频部分，因此我们可以在小波重构时，只保留系数置0，这样重构的图像就会有局部模糊、其余清晰的效果。方案二：阈值法对图像进行多级小波分解后，保留低频系数不变，然后选取一个全局阈值来处理各级高频系数；或者不同级别的高频系数用不同的阈值处理。绝对值低于阈值的高小波系数进行重构。Matlab中用函数ddencmp()可获取压缩过程中的默认阈值，用函数wdencmp()能对一维、二维信号进行小波压缩。方案三：截取法将小波分解得到的全部系数按照绝对值大小排序，只保留最大的x%的系数，的压缩比并不一定高。因为对于保留的系数，其位置信息也要和系数值一起保存下来，才能重构图像。并且，和原图像的像素值相比，小波系数的变化范围更大，因而也需要更多的空间来保存。5小波变换的基本思想是将任意函数f表示为小波的叠加,这种函数f的小波叠加表示就是将函数f分解为不同的尺度级.在每一个尺度级,函数f又在与这一尺度级散的叠加形式,即求和而不是积分,一个离散化的方法是设a=a0m,b=nb0m。其中,m,n∈Z,a01,b00(a0,b0为常数)。1）小波变换一个一元函数Ψ(x)称为小波函数，如果其Fourier变换Ψ(ω)满足许可性条件：则基函数可由小波函数Ψ(x)经过伸缩和平移而得：数Ψ(x)“压缩”的函数，即短时高频函数。函数f∈L2(R)的小波变换定义为：当a0,b在(-∞,∞)连续取值时，该变换为连续小波变换；当a=2m，m∈Z,而b在(-∞,∞)连续取值时，该变换为二进小波变换。当a=2m,b=n2m,m,n∈Z时，若小波Ψ同时满足{Ψm,n(x)},构成L2(R)的一个正交基，其中：分解系数集合{〈Ψm,n,f〉}，n∈Z刻画了函数f在尺度2m下的细节特点，记为D2Mf。可以证明，与小波Ψ(x)相对应，存在一个尺度函数Φ(t)，满足{〈Φm,n,f〉}n∈Z刻画了函数f在尺度2m下的一个平滑的像，即f在尺度2m下的逼近，记为A2mf，同时有下式成立：多尺度分析是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式,它重点处理整个函数集,而非侧重处理作为个体的函数。它具有以下性质:①单调性；6小波变换在图象压缩中的应用基于小波变换的图象压缩流程小波变换用于信号和图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高,压缩速度快,压缩后能保持信号与图像的特征基本不变,且在传递过程中可以抗干量化→5.编码→6.存储或传输→7.解码→8.反量化→9.小波逆变换→10.后处理→11.解码图像输出从上面的编解码流程图中可以清楚地看到原始图像数据经过预处理之后进行小波变换，在变换过程中并不产生压缩，这个过程是无损的，只是将系数按照频Huffman编码进行无损压缩，以达到高效压缩的目的。这样就得到了编码码流。解码过程是编码过程的逆运算。评价解码图像质量的一个重要的指标为峰值信噪比PRSN：其中：B表示原始图像的象素个数；MSE为均方误差；PRSN的单位是分贝（dB）。PRSN是目前用来评价解码图像的有效定量参数，PRSN越高，其解码图像的质量就越好。Matlab实现图像压缩：小波变换用于信号和图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高,压缩速度快,压缩后能保持信号与图像的特征基本不变,且在传递过程中可以抗干扰。的类型,为h表示水平细节信号,为v表示垂直细节信号,为d表示对角线细节信号;N表示分解的层数;C和S是函数wavedec2分解得到的结果。(4)函数wrcoef2功能:用分解得到的C、S进行多层二维小波分解某一层的重构。语法格式:X=wrcoef2('type',C,S,'wname',N)式中,X是重构的分量信号;type是分量类型,为a表示近似分量,为h表示水平分量,为v表示垂直分量,为d表示细节分量;N表示重构的层次,默认值是size(S,1)-2;wname是使用的小波基函数。利用小波压缩函数进行图像压缩小波变换用于图像压缩的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数编码。系数编码是小波变换用于压缩的核心，压缩的实质是对系数的量化压缩。图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功系数进行压缩,可以使用全局阈值或水平,垂直,对角三个方向的层相关阈值.本例中使用的原始图像为’wmandril.mat’,例中,压缩1使用了全局阈值,压缩2使用了保留图像小波分解的近似系数,分别在水品,垂直,对角三个方向使用层相关阈值。在MATLAB中运行的源程序及函数定义注释如下:7利用小波分解去掉图像的高频部分而只保留低频部分小波变换用于图像压缩的基本思想就是把图像进行多分辨率分解，分解成不同空间、不