小波变换在图像压缩中的应用报告

《现代数字信号处理》期末考察报告题目:小波变换在图像压缩中的应用学生姓名:学号:院系:专业:2015年6月17日一、概述上个世纪八十年代初，Morlet和Arens等人首次提出了“小波”的概念。小波分析的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种数学工具，小波分析已广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分析的兴趣。由此，带来了小波分析的迅速发展。小波分析主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数”之和，而“基本函数”是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻画函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前，人们用Fourier基、Haar基来分解函数。Fourier基具有很好的光滑性，但局部性很差；而Haar基的局部性虽很好，但光滑性很差。小波基却兼有它们的优点。在信号分析中，由于小波变换在时域和频域都有很好的局部特性，因此在数据压缩与边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。小波分析正在处于迅速发展之中，从事小波分析的人越来越多，随着研究的进一步深入，小波分析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分析、语音识别与合成等方面。在人类认识自然、改造自然的科学探索与实践中，信息扮演了至关重要的角色。特别是二十世纪中叶以后，随着计算机科学的迅猛发展，信息科学与计算机科学紧密结合，相互促进，其地位与日俱增。当今的人们已普遍意识到，未来的时代就是信息时代。一般的，信息需要通过媒体来进行记录、传播和获取。最终要的信息媒体包括文字、图像、声音等人们能感知到的，或微波、激光等人们无法感受的。其中，图像是最常见的信息存载和表现形式，它不仅十分直观，而且内涵非常丰富。图像作为信息的载体具有数据量非常大的缺点。例如，一副512×512象素、8bit/pixel的灰度图像占256KB，一副512×512象素、8bit/pixel的彩色图像则占3×256＝768KB；一副2291×2190×8bit的气象卫星红外云图占4.90MB，而一颗卫星每半个小时可发回一次全波段数据(5个波段)，每天的数据量高达1.2GB。另外电视会议数字化的视频图像需要很宽的传输带宽以及巨大的存储容量。视频大致以每秒30帧的速率传输，将达到90Mbps的数据传输率。由此可见，无论基于存储还是传输考虑，图像数据的压缩都是十分必要的。当前，图像压缩被认为是一种“开放技术”。由于现代图像传感器不断提高空间分辨率以及电视广播标准的不断发展，图像压缩已经成为一种基本技术，在许多重要且性质不同的领域中扮演着主要角色，比如，电视会议、遥感（使用卫星成像进行天气预报和其他地球资源的应用）、记录文献和医疗成像、传真（FAX）、军事上的远程遥控车辆驾驶、空间中的危险废弃物管理等方面。简而言之，不断扩大的应用领域依赖于对各种图像进行有效的处理、存储和传输。长期以来，图像压缩编码利用离散余弦变换(DCT)作为主要的变换技术，并成功的应用于各种标准，如JPEG，MPEG-1，MPEG-2。但是，在基于DCT的图像变换编码中，人们将图像分成8×8象素或16×16象素的块来处理，从而容易出现方块效应与蚊式噪声。小波变换是全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能，而且在应用中易于考虑人类的视觉特性，从而成为图像压缩编码的主要技术之一。基于小波变换的图像编码与经典的图像编码方法相比，至少具有如下优点：(1)小波变换本质上是全局变换，重建图像中可以免除采用分块正交变换编码所固有的“方块效应”。(2)小波变换采用塔式分解的数据结构，与人眼由粗到精、由全貌到细节的观察习惯相一致，这是将WT(waveletstransform)与HVS(humanvisualsystem)的空间分解特性结合起来以改善图像压缩性能的有利条件。小波变换比经典的变换(DCT)更符合人的视觉特性，通过合理的量化编码产生的人为噪声比同样比特率的JPEG方法产生的影响要小的多。(3)小波变换式图像的时-频表示，具有时间-频域定位能力，并可实现图像中平稳成分与非平稳成分的分离，从而可对其进行高效编码。因此，小波变换用于图像压缩时，除具有时-频局部化分析方法处理非平稳信号的固有长处外，还体现在它具有易于与HVS相结合的潜力上。目前，基于小波变换的图像压缩算法JPEG2000已经成为新一代的图像压缩标准。这能够说明小波变换在图像压缩编码中的应用。二、小波分析的基本理论1、连续小波变换的定义定义1如果)(2RL满足“容许性”条件：dC2)(ˆ，那么称是一个“容许小波”或“母小波”。关于一个基小波，在)(2RL上的连续小波变换或积分小波变换定义为dtabttfaabfW)(,21，)(2RLf容许条件是为了确保小波逆变换可以进行。定义1中)(2RL的条件似乎稍弱，如果和ˆ都是窗函数，则基小波可以给出有限面积的时间-频率窗。另外ˆ是一个连续函数，则有ˆ(0)0；而是窗函数表明1()LR，这样可以得到定义2。定义2如果)()(21RLRL满足“容许性”条件：dC2)(ˆ，那么称是一个“基小波”，也称“容许小波”。关于一个基小波，在)(2RL上的连续小波变换或积分小波变换定义为dtabttfaabfW)(,21，)(2RLf注：基小波属于)(1RL，在理论上会对判定函数是否是基小波产生困难。定义3如果满足如下两条要求⑴()x是连续的且呈现指数衰减[即-C||()Mexx，对某些常量C，M]⑵的积分为零[即()0xdx]则定义函数2()LR的小波变换为dtabttfaabfW)(,21，)(2RLf定义3中的衰减条件和积分为零条件可以推出定义2中的容许性条件，而定义2中1()LR，可推出ˆ是一个连续函数，所以由容许性条件中C的有限性可以推出ˆ(0)0，或者等价地有()0xdx，这就是称为“小波”的原因。2、连续小波的重构及性质连续小波变换的重构公式为：211()(,)()fxbfxWabdadbCaa从连续小波的定义知道，任何信号f的连续小波变换),(baWf是一个关于ba,的二元函数，但是具体信号的连续小波变换的表达式一般说来是相当复杂的。下面介绍连续小波的重要性质：⑴线性：一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波变换之和。⑵平移不变性：若()fx的小波变换为(,)fWab，则()fx的小波变换为(,)fWab。⑶伸缩共变性：若()fx的小波变换为(,)fWab，则()fcx的小波变换为1(,)fWcacbc，0c⑷自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b，连续小波变换之间是自相似的。⑸冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。这种冗余性主要表现在2个方面：①连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的。②小波变换的核函数,()abx存在许多可能的选择，如他们可以是非正交的小波、正交小波、双正交小波、甚至允许是彼此线性相关。小波变换在不同的(,)ab之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此小波变换的冗余度应该尽可能的减小。3、连续小波的应用小波分析的最初是在工程应用中发展起来的，是工程应用与数学结合的结晶。小波变换是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数和信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，被誉为“数学的显微镜”。现在连续小波变换已经广泛地应用于时频联合分析、去噪、特征提取、地质勘探、涡流、力学等领域。比如在去噪中，连续小波变换具有较大的冗余性，对于去噪和数据恢复是十分有利的，而冗余对图像压缩是不利的，图像压缩中需要的是无冗余的正交小波；小波对信号的奇异点十分敏感，对突变信号的分析非常有效，因而在故障检测和边缘检测中，连续小波是很有效的，文献[15]也表明连续小波变换具有比传统的二进小波更好的检测能力，非常适合于故障检测；而复小波能够提取有关相位信息，因而可以实现包络分析处理；后面介绍的离散小波变换的各个尺度的小波分量的系数就是信号在各尺度下的连续小波变换，因此，可以这样说，几乎所有小波分析的应用都与连续小波变换有关。在实际应用中，需要将连续小波离散化。这里的离散是指将连续小波,()abx和连续小波变换(,)fWab离散化。在连续小波中，考虑函数,1()(),,,0abxbxbRaRaaa且，是容许的，在离散化时，总限制a取正值，这样离散小波变换的容许条件就变为：20ˆ()Cd当,ab离散化时，即000,jjaabkab，则得到离散小波为/2,000()()jjjkxaaxkb,jkZ从而离散小波变换表示为：2,000(,),()()jjjkWfjkfafxaxkbdx其重构公式为：,,()jkjkjkfxCCC为一与信号无关的常数。这样，我们将信号fx分解为不同尺度与平移参数的小波分量之和。如果x还有一个对偶x，它们一起满足双正交条件,,,,,jklmjlkm，则系数,,,,jkjkCCfWfjk是fx的连续小波变换在第j尺度与第k平移处的值。所以，连续小波变换与离散小波变换是不可分离的。实际应用中，通常用卷积形式的小波变换，对于函数2()fLR，在尺度s上的卷积小波变换记为1(,)*()()()()()ssRRxtWfsxfxftxtdtftdtss这时容易计算fx的连续小波变换的傅立叶变换。1ˆˆsWffs。三、小波变换在图像压缩中的应用每天都有大量的信息进行存储、处理和传送。美国已经将整个美国国会图书馆的图书（及一些馆藏物品）编制了目录，使其成为世界上最大的电子图书馆，以此作为其进行数字化和建立电子政府的第一步；网上的许多信息是以图像形式存储的，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩，在同等的通信容量下，如果图像数据压缩后再传输，就可以传输更多的图像信息，也就可以增加通信能力，所以对于存储和通信的需求是无限的。所以图像压缩方法比起图像的存储或传输具有更为突出的实用价值和商业意义。图像压缩所解决的问题是尽量减少表示数字图像时需要的数据量。减少数据量的基本原理是除去其中多余的数据。以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维象素阵列变换为一个在统计上无关联的数据集合。这种变化在图像存储和传输之前进行，而在以后的某个时刻再对压缩图像进行解压缩来重构原图像或原图像的近似图像。图像压缩研究的就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原图像，而且在压缩、传输和恢复的过程中还要求图像的失真小等。图像压缩是小波分析的一个重要应用，它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰，实现累进传输等。3.1、小波小波编码的基本框架基于小波变换的图像压缩编码模型一般包含3个部分。首先，利用二维Mallat分解算法对原始图像进行分解，假设分解成M层，则得到3M个高频子图与一个低频子图，如图1。由于小波变换系数在幅度上还是连续的，因此，第二步需要对小波变换系数进行量化，其被量化以后产生符号流的每一个符号是对应特定量化阶层的标记，信息的损失一般发生在量化级。第三步则由熵编码把量化得到的符号流表示为比特流，以达到压缩数据的目的。常用的熵编码有算数编码，Huffman编码等。最后把比特流进行存储或传输。对于静态图像这样的二维信源，需要使用二维滤波器进行处理。考虑到小波函数的可分离性，二维滤波器可由一维滤波器复合而成。图像输入比特流小波编码中考虑