必修5教案2.2等差数列的概念(二)

§2.2第2课时等差数列的通项公式教学目标（1）理解等差数列中等差中项的概念；（2）会求两个数的等差中项；（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；（4）掌握证明等差数列的方法。教学重点，难点等差中项的概念及等差数列性质的应用。教学过程一．问题情境1．复习：等差数列的定义、通项公式；2．问题：（1）已知12312,,,,,,nnnaaaaaa是公差为d的等差数列。①121,,,,nnaaaa也成等差数列吗？如果是，公差是多少？2462,,,naaaa也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（2）已知等差数列na的首项为1a，公差为d。①将数列na中的每一项都乘以常数a，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？②由数列na中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列nc是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）已知数列na是等差数列，当mnpq时，是否一定有mnpqaaaa？（4）如果在a与b中间插入一个数A，使得a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？二．学生活动与学生一起讨论得出结论。三．建构数学1．等差中项的概念：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA．2．等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a，3a，5a，7a，……；3a，8a，13a，18a，……；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa四．数学运用1．例题：例1．已知等差数列na的通项公式是21nan，求首项1a和公差d。解：122111,2213aa，∴212daa或12(1)1(21)2nndaann等差数列na的通项公式是21nan，是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点(,)nna均在直线21yx上（如图）例2（1）na是等差数列，证明nkab为等差数列。（2）在等差数列na中，是否一定有112nnnaaa(2)n？（3）在数列na中，如果对于任意的正整数(2)nn，都有112nnnaaa，那么数列na一定是等差数列吗？证明：（1）设数列na公差为d，nnckab，111()()nnnnnncckabkabkaakd，∵kd是一个与n无关的常数，∴nkab为等差数列。（2）∵na是等差数列，所以11nnnnaaaa，∴112nnnaaa（3）在数列na中，如果对于任意的正整数(2)nn，都有112nnnaaa，则11nnnnaaaa(2)n，这表明，这个数列从第二项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，∴数列na一定是等差数列。例3．在等差数列na中，若410a，719a，求18a．解：（法一）设首项1a，公差为d，则11310619adad∴3d，11a，∴1811752ad．（法二）741910333aad，1871152aad．例4．①在等差数列na中，278136aaaa，求69aa．②在等差数列na中，14812152aaaaa，求313aa的值。解：①由条件：69782133aaaaaa；②：由条件：∵81154122aaaaa∴82a∴313824aaa．例5．如图，三个正方形的边,,ABBCCD的长组成等差数列，且21ADcm，这三个正方形的面积之和是2179cm。（1）求,,ABBCCD的长；（2）以,,ABBCCD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解：设公差为(0)dd，BCx则,ABxdCDxd由题意得：222()()21()()179xdxxdxdxxd解得：74xd或74xd（舍去）∴3(),7(),11()ABcmBCcmCDcm（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列na，∴103(101)439a，∴22210391521()acm所求正方形的面积是21521()cm。五．回顾小结：1．等差中项的概念；2．等差数列性质的应用；3．掌握证明等差数列的方法。六．课外作业：39P5，6，7，8，9，10题ABCD