小狗包弟(重整)

第2讲解三角形应用举例★知识梳理★1.已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．2.已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．3.已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4.已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度.6.俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD、OE是视线，DOC是仰角，EOC是俯角.7.关于三角形面积问题①ABCS=21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②ABCS＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；③ABCS＝2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）④ABCS＝Rabc4；⑤ABCS＝))()((csbsass,)(21cbas；⑥ABCS＝r·s,(r为△ABC内切圆的半径)★重难点突破★1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2.难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路,然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，问题1.如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，10ADkm，14ABkm，60BDA，135BCD，求两景点B与C的距离（假设,,,ABCD在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：21.414,31.732,52.236）解：在△ABD中，设BD=x，则BDAADBDADBDBAcos2222，即60cos1021014222xx整理得：096102xx解之：161x，62x（舍去），由正弦定理，得：BCDBDCDBBCsinsin,∴2830sin135sin16BC≈11(km).答：两景点B与C的距离约为11.km.（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.问题2.用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，根据正弦定理，得AE＝asinβsin（α－β）在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝asinαsinβsin（α－β）∴EF＝EG＋b＝asinαsinβsin（α－β）＋b，答：气球的高度是asinαsinβsin（α－β）＋b.★热点考点题型探析★考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题[例1](2007·山东)如图4-4-12，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用Svt求出边长,再进行进一步分析.[解析]如图，连结11AB，由已知22102AB，122030210260AA，1221AAAB，又12218012060AAB∠，122AAB△是等边三角形，1212102ABAA，由已知，1120AB，1121056045BAB∠，在121ABB△中，由余弦定理，22212111212122cos45BBABABABAB22220(102)2201022200．12102BB．因此，乙船的速度的大小为1026030220（海里/小时）．答：乙船每小时航行302海里．【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.【新题导练】1．甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？A北1B2B1A2A120105甲乙图4-4-12解析：、解:两点甲船和乙船分别到达小时后设经过DCx,,xBDABADxAC1020,8则,,6170.,614800)6170(24440056024421)1020(82)1020()8(60cos222222222取得最小值时当取得最小值取得最小值时当CDxCDCDxxxxxxxADACADACCD此时,甲、乙两船相距最近2．在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）解：设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，4vABt。在△AOB中，由正弦定理，得sinsin15OBABOAB，62sinsin1562/44OBvtOABABvt而2(62)843841.741，即sin∠OAB1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.考点2运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质[例2]（08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在ABDC点A及点C处，小区里有两条笔直的小路ADDC，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．【解题思路】转化条件,分析图形建模.【解法一】设该扇形的半径为r米.由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=060……………………………4分在CDO中，22022cos60,CDODCDODOC……………6分即22215003002500300,2rrr…………………….9分解得490044511r（米）.…………………………………………….13分【解法二】连接AC，作OH⊥AC，交AC于H…………………..2分由题意，得CD=500（米），AD=300（米），0120CDA………….4分2220222,2cos12015003002500300700,2ACDACCDADCDAD在中∴AC=700（米）…………………………..6分22211cos.214ACADCDCADACAD………….…….9分在直角11,350,cos0,14HAOAHHA中（米）∴4900445cos11AHOAHAO（米）.………………………13分【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解;（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【新题导练】1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半H1200OCA小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．2.（汕头市金山中学2009届高三数学期中考试）为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆三角形支架形状如图，要求060ACB，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y－0.5）米新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆在△ABC中，依余弦定理得：ACBBCACBCACABcos2222即212)5.0(222yxxyy化简，得41)1(2xxy∵1x，∴01xACB北北152o32o122oCABCAB因此1412xxy方法一：232)1(43)1(1412xxxxy新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆当且仅当)1(431xx时，取“=”号，即231x时，y有最小值32新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆★抢分频道★基础巩固训练1.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时解析:设A地东北方向上点P到B的距离为30千米，AP＝x，在△ABP中PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，即302＝x2＋402－2x·40cos450化简得24027000xx｜