必修一复习方案与全优评估指数函数与对数函数

1．指数与指数函数(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．(2)指数函数的底数a＞0且a≠1，这是隐含条件．(3)指数函数y＝ax的单调性，与底数a有关．当底数a与1的大小不确定时，一般需分类讨论．(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(5)函数y＝ax与函数y＝(1a)x的图像关于y轴对称．(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．2．对数与对数函数(1)指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．(2)在使用运算性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝nmlogab，logab＝1logba在解题中的灵活运用．(4)对数函数y＝logax与y＝log1ax的图像关于x轴对称．(5)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，其图像关于直线y＝x对称．(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．[例1]化简：(1)a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷(1－23ba)×3ab；(2)(lg2)3＋3lg2·lg5＋(lg5)3；(3)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.[解](1)原式＝a13（a－8b）（2b13）2＋2a13b13＋（a13）2×a13a13－2b13×a13b13＝a13（a－8b）a－8b×a13×a13b13＝a3b.(2)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.(3)原式＝lg4＋lg31＋lg0.36＋lg38＝lg121＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.[借题发挥]指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1．若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则1x－1y＝________．解析：由已知得：x＝log2.51000，y＝log0.251000∴1x－1y＝1log2.51000－1log0.251000＝lg2.5lg103－lg0.25lg103＝13(lg2.5－lg0.25)＝13lg2.50.25＝13lg10＝13.答案：132．已知logax＝4，logay＝5，试求A＝(x31xy2)12的值．解：logaA＝12[logax＋13(－12logax－2logay)]＝12(56logax－23logay)＝12(56×4－23×5)＝0.∴A＝1.[例2](1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图像如右图所示，则a，b满足的关系是()A．0＜a－1＜b＜1B．0＜b＜a－1＜1C．0＜b－1＜a＜1D．0＜a－1＜b－1＜1(2)已知函数y＝ax2－3x＋3，当x∈[1，3]时有最小值18，求a的值．[解](1)由图像，知该函数为增函数．∴a＞1.又当x＝0时，－1＜f(0)＜0，即－1＜logab＜0，即loga1a＜logab＜loga1.∴1a＜b＜1.结合a＞1，知0＜a－1＜b＜1.[答案]A(2)令t＝x2－3x＋3＝(x－32)2＋34，当x∈[1，3]时，t∈[34，3]，①若a＞1，则ymin＝a34＝18，解得a＝116，与a＞1矛盾．②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝18，解得a＝12，满足题意．综合①，②知a＝12.[借题发挥]指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论．3．函数f(x)＝ax－b的图像如右图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0解析：由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1；函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.答案：D4．函数f(x)＝4x－4（x≤1），x2－4x＋3（x＞1）的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是()A．4B．3C．2D．1解析：作出函数f(x)与g(x)的图像，如图所示，由图像可知：两函数图像的交点有3个．答案：B5．定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时的解析式f(x)＝14x－a2x(a∈R)．(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；(2)求f(x)在[0，1]上的最大值．解：(1)设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]．∴f(－x)＝14－x－a2－x＝4x－a·2x.∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝4x－a·2x，x∈[0，1]．(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－a·2x，令t＝2x，则t∈[1，2]．∴g(t)＝t2－at＝(t－a2)2－a24.当a2≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；当1＜a2≤32，即2＜a≤3时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；当32＜a2≤2，即3＜a≤4时，g(t)max＝g(1)＝1－a；当a2＞2，即a＞4时，g(t)max＝g(1)＝1－a.综上知，当a≤3时，f(x)的最大值是4－2a；当a＞3时，f(x)的最大值是1－a.[例3]比较下列各组数的大小．(1)log323与log565；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知log12b＜log12a＜log12c，比较2b，2a，2c的大小关系．[解](1)∵log323＜log31＝0，而log565＞log51＝0，∴log323＜log565.(2)∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，∴1log0.71.1＜1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y＝log12x为减函数，且log12b＜log12a＜log12c，∴b＞a＞c，而y＝2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.[借题发挥]比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等．其中第(2)小题可以运用图像法解．提示：作出函数y＝log1.1x与y＝log1.2x的图像如图所示，两图像与x＝0.7相交，可知log1.10.7＜log1.20.7.6．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序为()A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7解析：∵0＜0.7＜1，6＞1，∴log0.76＜0，而0＜0.76＜1，60.7＞1，故log0.76＜0.76＜60.7.答案：D7．若x∈(1，10)，则(lgx)2，lgx2，lg(lgx)的大小顺序是()A．(lgx)2＜lgx2＜lg(lgx)B．lg(lgx)＜lgx2＜(lgx)2C．lgx2＜lg(lgx)＜(lgx)2D．lg(lgx)＜(lgx)2＜lgx2解析：∵x∈(1，10)，∴不妨令x＝10，则lg(lgx)＝lg(lg10)＜0，(lgx)2＝(lg10)2＝14，lgx2＝lg(10)2＝1，∴lg(lgx)＜(lgx)2＜lgx2.答案：D[例4]已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增加的；(2)若关于x的方程log2(2x－1)＝m＋f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围．[解](1)证明：任取x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝log2(2x1＋1)－log2(2x2＋1)＝log22x1＋12x2＋1，∵x1＜x2，∴0＜2x1＋1＜2x2＋1.∴0＜2x1＋12x2＋1＜1，log22x1＋12x2＋1＜0.∴f(x1)＜f(x2)，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增加的．(2)法一：∵m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log22x－12x＋1＝log2(1－22x＋1)．当1≤x≤2时，25≤22x＋1≤23，∴13≤1－22x＋1≤35.∴m的取值范围是[log213，log235]．法二：解方程log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，得x＝log2(2m＋11－2m)，∵1≤x≤2，∴1≤log2(2m＋11－2m)≤2，解得log213≤m≤log235.∴m的取值范围是[log213，log235]．[借题发挥]若本例中函数不变，如何解不等式f(4x)＞f((12)x－3)?8．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.答案：A9．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数，求k的值．解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx.∴2kx＝log4(4－x＋1)－log4(4x＋1)＝log44－x＋14x＋1＝log44x＋14x4x＋1＝log414x＝－x.∴2k＝－1.∴k＝－12.(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)的图像如右图所示，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则函数y＝g(x)的解析式为()A．g(x)＝2xB．g(x)＝log12xC．g(x)＝(12)xD．g(x)＝log2x解析：由点(2，－1)在y＝logax的图像上，得loga2＝－1，∴a＝12.∴f(x)＝log12x，从而g(x)＝(12)x.答案：C2.12log612－log62等于()A．62B．122C.12D．3解析：原式＝log612－log62＝log66＝12.答案：C3．若集合A＝{x|log12x≥12}，则∁RA＝()A．(－∞，0]∪(22，＋∞)B．(22，＋∞)C．(－∞，0]∪[22，＋∞)D．[22，＋∞)解析：log12x≥12，即log12x≥log1222∴0＜x≤22，即A＝{x|0＜x≤22}．∴∁RA＝{x|x≤0或x＞22}．答案：A4．(2012·重庆高考)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝bcB．a＝bcC．abcD．abc解析：a＝log23＋log23＝log233＝32log231，b＝log29－log23＝log233＝32log231，c＝log32log33＝1，故a＝bc.答案：B5．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c解析：a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(l