第六章进一步金融分析(利息理论-陈萍)

1利息理论开课系：理学院统计与金融数学系教师:陈萍e-mail:[e-mail]参考书：利息理论S.G.Kellison著尚汉冀译上海科学技术出版社2第六章进一步金融分析利率水准的决定通货膨胀、风险和不确定性收益曲线利率假定利息的随机处理在金融分析中常需考虑下列问题：是什么因素决定了利率的水平？在进行包括未来的金融计算时，应该假设取什么样的利率？基于过去的实际经历的利率常称为居后利率。相反地，预期将来发生的利率称为居前利率。目前存在的利率常称为当前利率或市场利率。46.1利率水准的决定回顾过去年代的利率，我们发现它会随时间而发生很大的变化。1945年美国短期国库券的平均收益率为0.33%,1981年为14.71%;在1980年8月最低贷款利率为11%，到了1980年12月，同一贷款的利率竟达到了21.5%。人民币存款利率基本经济理论告诉我们，利率象其他价格一样，建立在供求关系之上。如果求过于供，利率将上升；如果供过于求，利率将下降。在实践中将用大量的因素以复杂的形式合在一起决定利率。5影响利率水准的一些主要因素潜在净利率——多数经济和金融理论学家相信，存在着一个作为基础的潜在净利率，它与经济的长期再生性增长有关。如果没有通货膨胀，这一利率在长达数十年的期间是相对稳定的。在美国，它通常在2%到3%之间。通货膨胀风险和不确定性投资时间长度——在市场上通常短期与长期的贷款和投资，其利率是不同的，利率随时期长度的变化规律称为利率的期限结构人民币存款利率与时期长度的关系信息特性——在金融理论中，“高效率”的市场是定义为那种购买者和出售者具有同样的信息的市场。利率的反常更容易在“低效率”的市场中发生。法律限制——有些利率是由政府控制的。政府政策——联邦政府通过其金融与财政政策影响甚至控制利率的总体水平。基本的控制是联邦储备局调整经济中货币供应的能力。政府赤字或盈余的水平也对信贷市场的需求方有很大的影响。随机波动在大量包含利息的金融业务中总会有许多各种各样的利率。然而，其中有几项关键短期利率常被大家看作利率动向的带头羊。最低贷款利率——这是由主要银行在给高度合作伙伴提供贷款时所用的基础利率。许多贷款利率都参考最低贷款利率。联邦基金利率——这是商业银行之间隔夜交换的储备金利率。这项利率每天变化并提供利率逐日变化的信息。贴现率——联邦储备局对成员银行收取的贷款利率。这项利率的变化预示着联邦储备局金融政策的重大调整，它很可能产生广泛传播的影响。与利率动向有关的一个常用术语是基点。一百个基点等于1%。这样，如果利率从9%上升到9.25%,则说利率上升了25个基点。86.2通货膨胀、风险和不确定性有充分证据表明，利率与通货膨胀率是正相关的。扣除通货膨胀率后的利率常称为真实利率，并记为i’而市场上的实际利率常称为表面利率，并记为i.我们将通货膨胀率记为r并暂时假设其为常数。有)1)('1(1rii(6.2.1)其中r0及ii’0.解出i得ririi''(6.2.2)其中i’r通常较小，故许多人将其忽略而认为表面利率就是真实利率与通货膨胀率之和。也可解出i’得rriirii1'11'1(6.2.3)注在实际中r应该是通货膨胀的期望率。因此上式仅在“平均”的意义下成立。通货膨胀率的考虑可以反映出隐藏在“表面金额”之下的“真实购买力”。例如，有一位投资者以利率i投资A，历时n个时期。此项投资在n个时期之末按“表面金额”之值为A(1+i)n.然而，在那个未来的日子这笔投资实际上究竟值多少呢？如果通货膨胀率为r，则此项投资在n个时期之末的购买力为nnriAiA)1(1)'1((6.2.4)10在实际问题中，经常会遇到要求未来付款反映通货膨胀的情形。设有一笔年金，要求其现时值相当于在真实利率i’下每年付款R的n期延付年金，于是，此项年金的现时值为riirrRrriirRiiRRannnin111)1(1111')'1(1'|(6.2.5)与(4.4.7)对比，这相当于首期末付R(1+r),以后付款金额按公比(1+r)的几何级数变化的年金现时值。11上述分析提供了对实际情形中计算未来付款现时值的一般准则：如果未来付款不受通货膨胀影响，则按表面利率贴现；如果未来付款按反映通货膨胀率来调整，且调整是反映在付款金额上（即每次付款按公比(1+r)的几何级数变化）；则按表面利率贴现；如果未来付款按反映通货膨胀率来调整，且调整不反映在付款金额上，则按真实利率贴现；例6.2.1一家保险公司在支付条款下为一项个人伤害诉讼作出年度支付。第一笔$24000的付款刚付出，还要付10笔款。未来付款将按照消费价格指数进行，即假设每年增加5%，若利率为8%，试求余留债务的现时值。解法一:01102400024000(15%)9t2224000(15%)924000(15%)1024000(15%)故,余留债务相当于第一笔付款为24000(1.05),公比为1.05的几何年金.由(4.4.7),现时值为101.051.08240001.05$206,2200.080.05解法二:本题也可以看作表面利率i=8%,通货膨胀率r=0.05的情形下,每年付$24000的10年期年金在真实利率i’下的现时值.11.081''0.02857111.05iiir故余留债务现时值为10|0.02857124000$206,226a14风险和不确定性的考虑在前面的讨论中，当我们考虑未来付款时，实际上隐含着一种假定，即这种付款金额都是已知的，而且肯定会在已知的时刻付款。但在实际中情况并不总是如此。例如可能会有拖欠付款的风险、与再投资有关的风险、通知偿还债券不确定的偿还日等。有两类风险会影响诸如债券和抵押贷款之类投资的市场值。第一种叫市场风险，它是一种由利率变化而引起的未来价格变化的风险。第二种叫信用风险，它由未来违约的可能性所引起。在计算高风险债券的价值时，必须考虑违约概率。例如考虑一笔$1000的一年期债券，票面利率8%，它存在有违约风险。假设此债券以$940出售。如果忽略违约概率的话，此债券的收益率为%89.141080)1(940ii如果市场上通行的无风险利率为8%,这一利率超出无风险利率的部分，即14.89%-8%=6.89%,称为风险上溢。然而，如果发生完全违约，则此债券的收益率为-100%；如果发生部分违约，则此债券的收益率将介于14.89%与-100%之间。设一次付款的期望现时值（EPV)为其现时值乘上付款概率（记为p).例如，如果取i=0.08,则94.008.11080940pp因此，隐含的违约概率为0.06.注收益率与违约概率的其他配对也可以产生$940的价格。例如，假如投资者认为，这种高风险的债券应该产生比8%高出3%的收益率，即i=11%,则可解出p=0.9661.因而在计算违约概率时应选择适当的收益率。一般地，考虑在时刻1,2,…,n给出的一系列未来付款R1,R2,…,Rn.假设在各次付款的概率为p1,p2,…,pn，则这一系列付款的现时值为ntttpiREPV11)1(其中i为能反映投资风险补偿的适当的收益率。例6.2.2无风险10年期债券的通行收益率为9%的实质利率，一项$1000的附年度息票10年期债券按息票率9%发行。(1)如果每年的违约概率为0.005，且投资者需要11%的收益率以补偿违约风险，求投资者愿意支付的购买价格。(2)求此项业务中利率的风险上溢。(3)求此项业务的平均收益率解(1)每年的违约概率为0.005意味着第t年的付款概率为{{10.0050.995tttpPP第t年付款}=前t年均付款}=101(1)ttttEPVRip101010.9950.9959010001.111.11$852.825tt解(2)设此项业务的收益率为i,则1010|852.825901000(1)iai解得:11.56%i11.56%9%2.56%风险上溢解(3)此项业务的平均收益率为i的期望值.需要先求出i的概率分布.为此,分别解方程|852.825901,...,9kkiaki的概率分布为1292910100%...11.56%0.0050.9950.0050.9950.005...0.9950.0050.995kiiiip[]9.2%Ei20人民币存款利率与时期长度的关系(按复利）1.72%2.08%2.25%2.66%3.14%3.37%0.00%0.50%1.00%1.50%2.00%2.50%3.00%3.50%4.00%三个月半年一年二年三年五年6.3收益曲线另一个影响利率水准的因素是投资时期的长度。通常而言，在任何时刻短期利率与长期利率是不同的，这一现象称为利率的期限结构。利率的期限结构可以通过绘制收益曲线来描述。投资期长度当利率随投资时间长度而增长时，称为“收益曲线有向上的坡度”。经济学中有几种理论解释这种现象。期望理论——个人和企业的期望利率在未来上升的百分比大于在未来下降的百分比；流动偏好理论——个人或企业做短期投资的意愿强于做长期投资的意愿，这样他们对自己的基金可以有较早的享用权，也就是保持流动。必须增加长期投资利率以吸引投资人较长时期地提供基金。通货膨胀上溢理论——投资者对未来的通货膨胀率感到很大的不确定性，因此对长期投资要求较高的利率。当然，在现实市场上也会出现颠倒收益曲线及平坦收益曲线的情形。收益曲线中的利率常称为现率。对前几章定义的收益率的一种批评是认为它忽略了利率的期限结构。用一个不计及这笔业务时间长短的单个利率。从这一观点来看，收益率的计算包含了收益曲线上许多不同现率的复杂的平均。考虑对一系列付款计算现时值的公式nittvRiP0)((2.2.1)此公式是基于单个利率i。另一种可以使用的做法是将每次付款按其伴随的现率进行贴现。记长度为t的时期的现率为it，则(2.2.1)推广为nitttiRiP0*)1()((6.3.1)另一种利率的形式叫今后率。这是一种将在未来出现的现率。本质上，今后率可视为再投资率。为了说明这一概念，考虑一家企业，它要借一大笔钱，为期2年。提供给这家企业的是右表展示的收益率曲线。这家企业有两种选择。投资时期长度利率1年7.00%2年8.00%3年8.75%第一种选择是按8%的2年现率借款2年。第二种选择是先按7%的1年现率借款1年，然后在第2年按1年后有效的1年现率再借款。这1年后有效的现率就称为“今后率”。显然，记今后率为f,如果(1.08)2=(1.07)(1+f),则这两种选择无差异。其中f=9.01%.例6.3.1利用下表中给出的现率来确定在5年中每年末付款$1000的现时值。试问多大的常数收益率可以产生同样的现时值？1234510001.071.081.08751.09251.095$3906.63解:这些付款的现时值为投资时期长度1年2年3年4年5年利率7%8%8.75%9.259.5%令5|10003906.638.83%iai25例6.3.2求例6.3.1中给出的年金在刚作出两次付款之后余下付款的现时值。在那个时刻的今后率预期对所有时期都比当前现率高1%。解:此项计算的比较日期在两年之末.在该时刻尚有3次付款待付,预期的今后率比第1,2,3年各高1%.投资时期长度1年2年3年利率7%+1%8%+1%8.75%+1%故余下付款的现时值为12310001.081.091.0975$2524.07266.4利率假定在对精算学、会计学等领域中一些复杂的情形进行贴现资金流分析时，决策者必须决定以下三个基本要素：1.付款概率。2.付款金额.3.付款时间.此外,还存在着一个关键的问题:在进