必修五高中数学人教A版模块综合测试(含祥解)

1必修五高中数学人教A版模块综合测试(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是()A.21)1(nB.cos2nC.cos2)1(nD.cos2)2(n2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于()A.41B.43C.42D.323.在等比数列{an}中，a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则a99+a100等于()A.89abB.(ab)9C.910abD.(ab)104.首项为2，公比为3的等比数列，从第n项到第N项的和为720，则n,N的值分别是()A.n=2,N=6B.n=2,N=8C.n=3,N=6D.n=3,N＞65.设α、β是方程x2-2x+k2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k为()A.2B.4C.±4D.±26.等比数列{an}中，前n项和Sn=3n+r，则r等于()A.-1B.0C.1D.37.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是()A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞)8.设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100，那么an+bn所组成的数列的第37项的值是()A.0B.37C.100D.-379.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0),若x1＜x2，x1+x2=0，则()A.f(x1)＜f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)＞f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定10.数列{an}中，an＞0且{anan+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，满足anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)，则公比q的取值范围是()A.0＜q＜221B.0＜q＜251C.0＜q＜221D.0＜q＜25111.在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A,那么△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a元(一年定期)，若年利率为r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)()2A.a(1+r)5B.ra［(1+r)5-(1+r)］C.a(1+r)6D.ra［(1+r)6-(1+r)］二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为3cm,5cm，其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________.14.数列{an}的通项公式为an=2n-49，Sn达到最小时，n等于_______________.15.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b的值是_______________.16.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在△ABC中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA＞tanB,tanB=31，求角C的大小及△ABC最短边的长.18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2563是否为数列中的一项.19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC中,∠B=45°,AC=10,cosC=552，(1)求BC边的长;(2)记AB的中点为D,求中线CD的长.20.(12分)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=nn2Sn(n=1,2,3，…)，证明(1)数列{nSn}是等比数列；(2)Sn+1=4an.21.(12分)一个公差不为0的等差数列{an}共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项.(1)求{an}各项的和S；(2)记{bn}的末项不大于2S，求{bn}项数的最值N；(3)记{an}前n项和为Sn，{bn}前N项和为Tn，问是否存在自然数m，使Sm=Tn.22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t；生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t；每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t,B种矿石不超过200t，煤不超过360t.甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1t)3答案1解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得.答案D2.解析:∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.又∵c=2a,∴b2=2a2.∴cosB=acbca2222=2222424aaaa=43.答案：B3.解析：∵a19+a20=a9q10+a10q10=q10(a9+a10)(q为公比)，∴q10=1092019aaaa=ab.又a99+a100=a19q80+a20q80=q80(a19+a20)=(ab)8·b=89ab.答案：A4.解析：∵SN-Sn-1=720，∴31)31(231)31(21nN=720，即3N-3n-1=720.将选项代入知N=6,n=3适合上述方程.答案：C5.解析：α+β=2，αβ=k2,又(α+β)2=αβ，∴4=k2.∴k=±2.答案：D6.解析：当n=1时，a1=3+r；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2·3n-1,要使{an}为等比数列，则3+r=2，即r=-1.答案：A7.解析:设A＞B＞C,则B=3,A+C=32,0＜C＜6,于是m=ca=CAsinsin=CCCCCsinsin21cos23sin)32sin(=23cotC+21,∵3＜cotC,∴m＞2.答案：B8.解析：设{an}的公差为d1,{bn}的公差为d2，则an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2.∴an+bn=(a1+b1)+(n-1)(d1+d2).∴{an+bn}也是等差数列.又a1+b1=100,a2+b2=100，∴{an+bn}是常数列.故a37+b37=100.答案：C9.解析：函数f(x)=ax2+2ax+4(a＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a＞0,∴x1+x2=0,x1与x2的中点为0，x1＜x2.∴x2到对称轴的距离大于x1到对称轴的距离.∴f(x1)＜f(x2).答案：A10.解析：令n=1，不等式变为a1a2+a2a3＞a3a4，∴a1a2+a1a2q＞a1a2q2.∵a1a2＞0,∴1+q＞q2.解得0＜q＜251.答案：B11.解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B或A+B=2.答案：D12.解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)；2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a］(1+r)；2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a［(1+r)2+(1+r)］+a｝(1+r)，即a［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即4a［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］，∴2006年1月1日可取回的钱数为a×)1(1])1(1)[1(4rrr=ra［(1+r)5-(1+r)］.答案：B13.由5x2-7x-6=0,得x1=-53,x2=2(舍去),∴cosθ=-53,sinθ=54.∴S=21×3×5×54=6(cm2).答案：6cm214.解析：∵an=2n-49,∴{an}是等差数列，且首项为-47，公差为2.由0,49-1)-2(na0,49-2na1-nn.解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24项之和最小.答案：2416.解析：由题意知，首项为41，则第四项为43，则另两根应为41+61=125,41+61×2=127.∴a=41×43=163,b=125×127=14435.∴a+b=163+14435=7231.答案：723116.解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为xkm，则19),8(x12)-9(x200,219)8(x解之,得256＜x＜260.答案：256＜x＜26017.解：由已知得A+B=4,C=43.又tanA＞tanB,∴B是△ABC的最小内角.又tanB=31,∴sinB=1010.∵Bbsin=Ccsin,∴b=Ccsin·sinB=55.∴C=43,其最短边长为55.18.解：该数列的一个通项公式为an=13+n(n+1).令13+n(n+1)=2563，则n2+n-2550=0，解得n=50或n=-51(舍).∴2563是该数列的第50项.19.解：(1)由cosC=552得sinC=55,sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC-sinC)=1010.由正弦定理知BC=BACsin·sinA=2210·1010=2.(2)AB=BACsin·sinC=2210·55=2.BD=21AB=1.由余弦定理知5CD=BBCBDBCBDcos222=13222312181.20.证明：(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=nn2Sn，∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,∴11nSn=2nSn.故{nSn}是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知11nSn=411nSn(n≥2).于是Sn+1=4(n+1)11nSn=4an(n≥2).又S1=a1=1,a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意整数n≥1，都有Sn+1=4an.21.解：设{an}公差为d，a1=5,a4=5+3d,a16=5+15d分别为{bn}的第1、3、5项,∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍).(1)S=100×5+299100×5=25250.(2)∵b1=a1=5,b3=a4=20，∴q2=13bb=4.∴q=2或q=-2(舍),bn=5·2n-1.令5·2n-1≤225250，∴2n≤5050.又212＜5050＜213，即n＜13,且212=4096＜5050,∴n的最大值N=12.(3)设有Sm=Tn,即5m+2)1(mm×5=5(212-1)，整理得m2+m-8190=0，∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S90=T12.22.解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt，利润总额为z元，那么0,y0,x360,9y4x200,4y5x300,4y10xz=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域.6作直线l：600x+1000y=0,即作直线l：3x+5y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过平行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y取最大值.解方程组360,9y4x200,4y5x得M的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈3