专题1-代数式的有关求值问题

1专题1代数式的有关求值问题【考法综述】代数式的求值问题在中考中出现的频率较高，主要以选择、填空的形式出现，并且经常涉及到实数的性质、整式和分式的求值问题、数字和图形的变化规律等，常用到的数学方法有：整体思想、归纳思想、数形结合思想.1.尾数的特征问题：尾数的问题，经常以指数的形式出现，与高中所学的幂指数和等差数列、等比数列有较强的联系，因此在中考中经常出现，解决此类问题要注意进行观察，找到规律.2.整式的求值问题：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算；另一种情况是利用因式分解、配方法等进行正确处理.3.数字的变化类：数字的变化规律是找规律中的一种，往往给出一组数、式子或条件，要求学生通过阅读、观察、分析，猜想来探索规律，体现了“从特殊到一般”的数学思想方法.4.图形的变化类：图形的变化规律题目要求学生能根据图的变化，找到规律，根据图形的规律利用相关的代数式知识进行求解.5.列代数式解决实际问题：把问题中与数量有关的词语，找到等量关系，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，列代数式五点注意：①仔细辨别词义；②分清数量关系；③注意运算顺序；④规范书写格式；⑤正确进行代换．6.分式的求值问题：分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径【典例剖析】例1.【2018年中考湖北省宜昌市】1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）2A．a=1，b=6，c=15B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15D．a=20，b=15，c=6&变式训练&变式1.1计算：21﹣1=1，22﹣1=3，23﹣1=7，24﹣1=15，25﹣1=31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22014﹣1的个位数字是（）A．1B．3C．7D．5变式1.2【2018年湖南省张家界市中考】观察下列算式:,,,,,,,…,则…的未位数字是()A．8B．6C．4D．0例2.【2018年临安市中考】已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=_____.变式2.1【2018年贵州省黔东南中考】根据下列各式的规律，在横线处填空：，，，…，﹣_____=.变式2.2已知y=ax5+bx3+cx﹣5．当x=﹣3时，y=7，那么，当x=3时，y=（）A．﹣3B．﹣7C．﹣17D．7例3.一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，an=（n≥2，且n为整数），则a2017=．&变式训练&变式3.1【河北省2018年中考】若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）3A．﹣1B．﹣2C．0D．变式3.2已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式Cnm=（n＞m），则C125+C126=（）A．B．C．D．变式3.3已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A．B．C．D．[来源:学*科*网]例4.设△ABC的面积为1．如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1=．如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2=；如图3，分别将AC，BC边4等分，D1，D2，D3，E1，E2，E3是其分点，连接AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3，其面积S3=；…按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CDnFnEn，其面积Sn=．&变式训练&变式4.1【2018年中考山东省烟台市】如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的4规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为（）A．28B．29C．30D．31变式4.2【2018年中考湖北省随州市】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A．33B．301C．386D．571例5.如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．B．C．D．&变式训练&变式5.1一艘轮船往返甲、乙两港之间，第一次往返航行时，水流速度为a千米/时，第二次往返航行时，正遇上发大水，水流速度为b千米/时（b＞a），已知该船在两次航行中的静水速度相同，则该船这两次往返航行所用时间的关系是（）A．第一次往返航行用的时间少B．第二次往返航行用的时间少C．两种情况所用时间相等D．以上均有可能例6.【2018年山东省菏泽市中考】若，，则代数式的值5为__________．&变式训练&变式6.1【四川省内江市2018年中考】已知：﹣=，则的值是（）变式6.2若x+=3，求的值是（）A．B．C．D．【实战演练】1.【湖北省孝感市2018年中考数学试题】已知，，则式子的值是（）A．48B．C．16D．122.【河北省2018年中考数学试卷】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁3.【山东省聊城市2018年中考数学试卷】下列计算正确的是（）A．B．C．D．4.【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】将正整数1至2018按一定规律排列如下表：6平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2019B．2018C．2016D．20135.【浙江省宁波市2018年中考数学试卷】在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为A．2aB．2bC．D．6.【山东省菏泽市2018年中考数学试题】规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，向量可以用点的坐标表示为：.已知：，，如果，那么与互相垂直.下列四组向量，互相垂直的是（）A．，B．，C．，D．，7.【北京市2018年中考数学试卷】实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．B．C．D．8.．【湖南省湘西州2018年中考数学试卷】按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）79.（2017郴州第16题）已知12345357911,,,,,25101726aaaaa，则8a．10.【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，则S2018=_____．11（2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为．12.(2017湖北黄石市第16题)观察下列格式：111112221111121122322331111111131122334223344……请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）13.【山东省淄博市2018年中考数学试题】将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．814.【四川省达州市2018年中考数学试题】已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为_____．15.【湖北省孝感市2018年中考数学试题】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，，，，…，那么的值是__________．16.【云南省昆明市2018年中考数学试题】若m+=3，则m2+=_____．17.【广西钦州市2018年中考数学试卷】观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是_____．18.【湖北省黄冈市2018年中考数学试题】若a-=，则a2+值为_______________________.19.【四川省成都市2018年中考数学试题】已知，，，，，，…（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，），按此规律，__________.20.【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，则S2018=_____．9【典例剖析】例1.【2018年中考湖北省宜昌市】1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为（）A．a=1，b=6，c=15B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15D．a=20，b=15，c=6【答案】B点睛：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．&变式训练&变式1.1计算：21﹣1=1，22﹣1=3，23﹣1=7，24﹣1=15，25﹣1=31，…归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22014﹣1的个位数字是（）A．1B．3C．7D．5【答案】B【解析】试题解析：∵21﹣1=1，22﹣1=3，23﹣1=7，24﹣1=15，25﹣1=31，26﹣1=63，27﹣1=127，28﹣1=255…∴由此可以猜测个位数字以4为周期按照1，3，7，5的顺序进行循环，知道2014除以4为503余2，而第二个数字为3，所以可以猜测22014﹣1的个位数字是3．10故选：B．学@科网变式1.2【2018年湖南省张家界市中考】观察下列算式:,,,,,,,…,则…的未位数字是()A．8B．6C．4D．0【答案】B例2.【2018年临安市中考】已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=_____.【答案】109【解析】【分析】观察不难发现，一个整数加上以这个整数为分子，整数的平方减1作为分母的分数，等于这个整数的平方乘以这个分数，然后求出a、b，再相加即可得解．【详解】∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，10+=102×，∴a=10，b=102-1=99，∴a+b=10+99=109，故答案为：109.变式2.1【2018年贵州省黔东南中考】根据下列各式的规律，在横线处填空：，，，…，﹣_____=.【答案】【