尺规作图的规格化交点序列与域扩张

尺规作图的规格化，交点序列及其域扩张吴敏金[e-mail]借助代数方法，古典几何三大尺规作图难题（角三等分，倍立方，圆化方）的不能作图早已被证实[1]。然而对其证明常有质疑之声[2]。究其原因，经典论著与一些近世代数教材的论述也存在某些欠缺与瑕疵。如，忽略了尺规作图过程中可根据需要选取任意点[3]；尺规作图的几何问题如何转化为代数问题的陈述过于繁杂[4]；更有甚者认为，域扩张属于严格的数学概论，而尺规作图属现实概念，无法证明二者的等价性[5]。对此，本文通过尺规作图的规格化：交点序列及其域扩张，以完整阐述尺规作图能与不能问题的论证方法。一、尺规作图的规格化简单地说，所谓尺规作图的规格化就是将作图过程转化为一个逐步求交点序列的过程。假设一尺规作图命题在笛卡尔坐标平面上完成（也可理解为复平面）。那么，由其作图过程可引出尺规作图的规格化如下：首先，根据该尺规作图命题已知的确定点及尺规作图过程中的任选点组成一个有限的初始点集Z0（必要时可加入点i）。第1步，从初始集Z0中选4个点（必要时也可取为同一点，下同），其坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)，(x4,y4)。过其中的二个点可作一直线，直线方程为(x-x1)/(y-y1)=(x2-x1)/(y2-y1)…（设y1y2）..(1)以其中的一个点为圆心，而以该点到另一点的距离为半径可作一个圆，圆方程为(x-x3)^2+(y-y3)^2=(x4-x3)^2+(y4-y3)^2………(2)那么，作直线与直线，或作直线与圆，或作圆与圆，可获得交点z1（一个交点或二个交点，下同）。然后将所得到的交点z1加入初始点集Z0，构成新的点集，称为过渡集Z1。进入第2步。第n步，从过渡集Zn-1中选4个点，如同第1步，获得新交点zn，并加入过渡集Zn-1，获得新的点集，即为过渡集Zn。第n+1步，反复上述的第n步，直到所得的新交点zn加入过渡集Zn-1后所构成的过渡集Zn能满足本尺规作图命题的要求，即过渡集Zn中的点连结成直线或画圆能达到尺规作图的要求，或者，新交点zn已满足该尺规作图的命题要求。此时，过渡集Zn称为终结集，点zn为终结点。由此，尺规作图的规格化为如下有限n步的流水过程：Z0…z1…Z1…z2…Z2………Zn-1…zn…Zn过渡点集Zi(i=1,…,n)从初始集Z0到终结集Zn不断扩大，每步增加交点zi(i=1,…,n)。所获得的交点zi(i=1,…,n)称为该尺规作图规格化的交点序列。二、尺规作图规格化的示例同一的尺规作圆问题，采用不同作图过程，其规格化过程也不同。下面以作角AOB的角平分线为例加以说明。方法一：初等几何作图法。图1角平分线的初等几何作图作图过程（见图1）：已知已知角AOB，选任意点M，以0为圆心，0M为半径画圆，与OA、OB交于C、D。再选任意点N，以C、D为圆心，CN为半径分别画二条圆弧，交于Q。OQ即为所求的角平分线。规格化过程：初始集Z0={O，A，B，M，N)。设O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4)第1步，以O为圆心，以OM为半径作圆，与直线OA、OB交于C(x5,y5）及D(x6,y6)。它们分别是如下二元二次方程组的解：x^2+y^2=x3^2+y3^2y/x=y1/x1(或y/x=y2/x2）将交点C加入初始集Z0构成过渡集Z1={O,A,B,M,N,C}。将交点D加入过渡集Z1构成过渡集Z2={O,A,B,M,N,C,D}。第2步，从过渡集Z2出发，以C与D为圆心，以CN的距离为半径分别作二条圆弧，交于点Q(x7,y7),它是如下二元二次方程组的解：(x-x5)^2+(y-y5)^2=(x3-x5)^2+(y3-y5)^2(x-x6)^2+(y-y6)^2=(x3-x5)^2+(y3-y5)^2将点Q加入过渡集Z2构成过渡集Z3={0，A，B，M，N，C，D，Q}。OQ为所求的角平分线，点Q为终结点，Z3为终结集。其规格化流水过程：Z0={O,A,B,M,N}…{C}…Z1={O,A,B,M,N,C}…{D}…Z2={O,A,B,M,N,C,D}…{Q}…Z3={O,A,B,M,N,C,D,Q}。其交点序列为：C,D,Q。方法二：三角计算作图法。初始集Z0={O,A,B}(无妨设O(0,0)，A(1,0)，B(x1,y1))。从图2，由半角公式知OF=sqrt((1+OE)/2)，Fk=sqrt((1-OE)/2)。图2角平分线的三角计算法作图尺规作图规格化如下：第一步，以O为圆心，OA为半径作圆Z1，与直线OB交于C,第二步，过C作OA的垂直线CE，与OA交于E第三步，作OA与圆Z1的另一交点G第四步，确定GE的中点H第五步，作点M，使得MG=OA=1第六步，以MH为直径，作圆Z2，圆心为J第七步，作NG垂直于MH，与圆Z2交于N第八步，作点F，使得OF=NG第九步，作KF垂直于OA，与圆z1交于KOK为所求的角平分线，K为终结点。交点序列为：C,E.G,H,M,J,N,F,K。请读者自行写出每个交点应满足的方程组，并列出相应的规格化流水过程。显然，用初等几何作图法比三角计算法简单得多了。特别要注意的是，二者的规格化流程不一样，它们的终结集不同，终结点D与K也不同。但是，它们都完成了角OAB平分线的作图。三、尺规作图规格化的域扩张设Q为有理数域。如前，尺规作图的规格化有如下有限n步的流水过程：Z0…z1…Z1…z2…Z2………Zn-1…zn…Zn令F0为包含有理数域Q及初始集Z0的最小域。例如，单点集Z0={i}，则F0={a+bi},a,b为有理数）。令F1为F0加入以型如式(1,2)的二元二次方程解z1扩张的最小域。即，F1=F0(z1)。………令Fn为Fn-1以型如式(1,2)的二元二次方程解zn扩张的最小域。即，Fn=Fn-1(zn)=F0(z1,…,zn)。即得该尺规作图的域扩张序列：（下面的“”表示“包含于”）有理数域QF0F1……Fn复数域C，为了简化证明，引入如下约定。【约定】初始点集Z0为复平面上的有理点（实部与虚部都是有理数）。（此约定对于尺规作图是可接受的。为什么留给读者！）那么有，【定理1】在约定条件下，尺规作图的域扩张的维数序列：[F0:Q]=2;而对于i=1,…,n,[Fi:Fi-1]=1或2。于是，[Fn:Q]=2^m。（m=n）。【证明】：尺规作图的域扩张序列：有理数域QF0F1……Fn复数域C。由约定，初始点集Z0为复平面上有限个的有理数点。Z0={a+bi，a,b为有理数}。故，[F0:Q]=2。对于所有i,(i=1,…n)，如果交点zi是直线与直线的交点，即为二个型如一次方程(1)的解，其方程系数来自Fi-1,其解zi为Fi-1上的一次分式，仍属于Fi-1。此时，Fi=Fi-1。故，[Fi:Fi-1]=1。如果交点zi是直线与圆的交点（圆与圆的交点可化为直线与圆的交点），即为型如一次方程(1)及二次方程(2)的解，其方程系数来自Fi-1,其解zi或为Fi-1上的一次分式，或为Fi-1上的二次根式，此时，Fi或为Fi-1本身，或为Fi-1加上一个二次根式的扩张域。故，[Fi:Fi-1]=1或2。进而，由[Fn:Q]=[F0:Q]*[F1：F0]*……*[Fn:Fn-1]，可得：[Fn:Q]=2^m。（m=n）。证毕【定理2】在约定条件下，假设sn为该尺规作图所要求的终结点，那么记Q(sn)为有理数域加上点sn的最小扩张域，其扩张维数为[Q(sn):Q]=2^k（k=m=n）。【证明】由于[Fn:Q]=[Fn:Q(sn)]*[Q(sn):Q]及[Fn:Q]=2^m。（m=n），而[Fn:Q(sn)]及[Q(sn):Q]为正整数，可知：[Q(sn):Q]=2^k（k=m=n）。证毕【定理3】在不加约定条件下，假设zn为该尺规作图所要求的终结点，初始扩张域F0为包含有理数域Q及初始集Z0的最小域。记F0(zn)为域F0加上点zn的最小扩张域。那么，其扩张维数为[F0(zn):F0]=2^k（k=m=n）。证明方法与定理2类同。读者可自行计算上面例题“角平分线作图”中的二种不同方法构造的扩张域Q(D)与Q(K)（或者F0(D)与F0(K)）的扩张维数。四、尺规作图不能的证明方法。尺规作图不能的证明可采用反证法，即，假设该尺规作图能完成，则存在该尺规作图的规格化：交点序列与域扩张序列。下面分两种情况讨论：1，在约定条件下，如果其终结点z，在有理数域上的最小扩张域Q(z)，其扩张维数[Q(z):Q]不是2的幂次方，则与定理2相矛盾，该尺规作图不能。由此，可写出一下二条在约定条件下的实用定理。【定理4】在约定条件下，如果一尺规作图所要求的终结点z是一个有理数系数的代数方程的解，且点z对有理数域的扩张维数[Q(z):Q]不等于2的次方，那么该尺规作图不能完成。【定理5】在约定条件下，如果一尺规作图所要求的终结点z是一个代数方程的超越解，那么该尺规作图不能完成。或者简单地说，从1出发，超越数不能尺规作图。（特别提醒注意，“从1出发”这个前提不能遗忘！），由定理4、5可方便地证明：古典几何三大尺规不能作图[4]。2，在不加约定条件下，如果包含有理数域Q及初始集Z0的最小域F0,,F0加上其终结点z的最小扩张域F0(z)，其扩张维数[F0(z):F0]不是2的幂次方，则与定理3相矛盾，该尺规作图不能。下面再另举一例以说明尺规作图的能不能问题。（注意观察其初始集Z0是否为有理集！）已知平面的一条长度为R的线段。(以R为半径的空间球体，球表面积=4πR^2，球体体积=4/3πR^3。)，试考察下列诸命题能否尺规作图？1,球面化为平面圆（等面积）设平面圆的半径r，则r=2R。此尺规作图能。2,球面化为平面正方形（等面积）设平面正方形的边长a，则a=2R*sqrt(π)。sqrt(π)为超越数，此尺规作图不能。3，球体化正立方体（等体积）设正立方体边长a，则a=R*(4/3π的开立方）。此尺规作图不能。4，球体化圆柱体（等体积）设圆柱体高h,底半径r,则h=4/3*R^3/r^2。如r已知或R/r为有理数，此尺规作图能。【参考文献】[1]谢惠民数学史赏析高等教育出版社2014[2]江育其质疑尺规作图不能问题证明方法中国科技论文在线2014[3]范德瓦尔登代数学1（翻译）科学出版社2009[4]韩士安近世代数科学出版社2004[5]刘绍学近世代数基础高等教育出版社2012