层次分析法(王树忠)

层次分析法建模8.1预备知识8.2层次分析法建模的基本步骤8.3层次分析法建模的应用实例y层次分析模型背景•日常工作、生活中的许多决策问题•作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化•Saaty于20世纪70年代末提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)•AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法8.1预备知识1、正互反矩阵：设nnjiaA)(,若元素jia满足),,2,1,(1,0njiaaajijiji则称A为正互反矩阵。例如1323231213121A2、一致阵：若nnjiaA)(阵，且满足),,2,1,,(nkjiaaaikkjji则称A为一致阵。例如1233321231211A23132132312aaa23213123132aaa为一个正互反矩3、一致阵的性质：对应的特征向量为则),,,(21n，其余特1)(AR；若（1）A的各行（列）的元素对应成比例，从而（2）（3）Anmax的最大特征值为nmax),,2,1,(njiwwajiji。征值均为零；Annnnnn212221212111注：1）若为一致阵，则A可表示为：2）若A为一致阵，则A的任一列向量均为nmax的特征向量。nnnnnn212221212111323112132123nnnnnnnnnnnnnnwnwn212121222121211121即nn2121n21也是特征向量。4、定理：A阶正互反矩阵，则为nA最大特征值nmax，设当nmax时，A为一致阵。注：n阶正互反阵A为一致阵最大特征值Anmax5、正互反矩阵的最大特征值与特征向量的求法：（1）幂法：1）任取归一化初始向量w(0),k:=0，设置精度)()1(~kkAww2)计算nikikk)1()1()1(~/~3）归一化4）若)()1(maxkikiiwwnikikiwwn1)()1(max~15)计算),2,1,0(k归一化：分量之和为1，停止；否则转2（2）和法：14/16/1412/1621A091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0268.0972.0760.1286.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31列向量归一化按行求和wAw精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010例：归一化w089.0324.0587.0286.0974.0769.1089.0324.0587.0089.0268.0324.0974.0587.0769.18.2层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住、饮食和旅途条件等因素选择.步骤：1、建立层次结构模型：将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途2.通过相互比较构造判断矩阵，确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。3.将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。（一）成对比较矩阵和权向量1、成对比较矩阵：ijjiijnnijaaaaA1,0,)(因素之间两两对比，用个因素C1,C2,…,Cn对上层一个因假设要比较某一层n素O的影响，ija表示jCiC和对O的影响之比。全部比较结果可用成对比较矩阵来表示。成对比较矩阵A为正互反矩阵。关于选择旅游地1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A设要比较各准则C1,C2,…,C5对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵选择旅游地表示C1与C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为1：2；2112a413a表示C1与C3之比为4：1要由A确定C1,…,C5对O的权重2、比较尺度（1－9尺度）尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:2468Saaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。3、一致性与权向量：71242/11A):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要求不一致的程度在允许的范围内先考察完全一致的情况：即成对比较是不一致（由于各种因素及主观倾向的干扰）。将一块大石头O砸成n块小石头C1,C2,…,Cn，它n,,21们的重量为。作成对比较矩阵，令jiijwwannnnnn212221212111权向量~),,(21Tn则A为一致阵。设11niiww，则n块小石头对大石头的权重（即在大石头中占的比重）为而w为nmax的特征向量。注：当成对比较矩阵A为一致阵时，A的特征值nmax的归一化的特征向量w为权向量。即权向量满足：11niiwwAwmax且（二）一致性检验：成对比较矩阵通常不是一致阵，不一致的程度要求在一定的范围内。设1maxnnCI称CI为一致性指标。当0CI时，A为一致阵，大，A的不一致程度越严重。CI越设RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110注：Saaty的结果如下（100～500样本）RICICR称CR为一致性比率，其中RI为随机一致性指标，取值见下表：当1.0RICICR时，认为A的不一致程度在容许范围内。这时，用成对比较矩阵A的归一化的特征向量作为权向量（层次排序权值）。“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验（三）层次总排序及其一致性检验：1、层次总排序计算某一层次所有因素对于总目标相对重要性的排序权值的过程称为层次总排序（从高到低计算）。设上一层A包含m个因素A1,A2,…,Am，其层次maaa,,,21总权值为，下一层B包含n个因素B1,B2,…,Bn，它们对于jA的层次排序权值分别为),,2,1(T21),,,(mjnjjjabb，B层总排序权值（对于总目标）为：层次层次ABB层次总排序权值mmaaaAAA2121nBBB21mjjnjmjjjmjjjbababa11211nmnnmmbbbbbbbbb212222111211mCICICICI)()()(21mAAA21nBBB21O2、层次总排序的一致性检验B层次总排序的一致性比率为：mjjjmjjjRIaCIaCR11)()(要求1.0CR。目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途“选择旅游地”中方案层（第3层）对准则层（第2层）的权向量及一致性检验1383/1138/13/112B13/13/13113113B方案层对C1(景色)、C2(费用)、C3(居住)、C4(饮食)、C5(旅途)的成对比较阵分别为114/1113/14314B12/15/1212/15211B144411141115B层次P的权向量与一致性比率分别为:所有的kCR)(均可通过一致性检验RI=0.58(n=3)层次层次CPC1C2C3C4C5P1P2P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668CI0.0030.00100.0050CR0.0050.00200.0090层次层次CPC1C2C3C4C5层次P总排序权值0.2630.4750.0550.0900.110P1P2P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6680.3000.2460.456CI0.0030.00100.0050“选择旅游地”中方案层（第3层）对总目标（第1层）的总排序的权向量与一致性检验方案P1对目标的权重为0.5950.263+0.0820.475…=0.300方案层对目标的总排序的权向量为(0.300,0.246,0.456)TRI=0.58(n=3)方案层总排序的一致性比率为：CR001714.0)(1mjjjCIa58.0)(1mjjjRIa1.0003.058.0001714.0层次层次CPC1C2C3C4C5层次P总排序权值0.2630.4750.0550.0900.110P1P2P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6680.3000.2460.456CI0.0030.00100.0050例1资金的合理利用某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。如何分配这笔资金？10、建立层次结构模型（如图）8.3层次分析法建模的应用实例合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工生活条件C3扩建福利事业P2引进新技术新设备P3发奖金P1目标层Z准则层C措施层P20、求解（1）构造判断矩阵（成对比较矩阵）Z–CZC1C2C3wC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258Z–C的最大特征值为308.3max1.0033.0,019.0133maxRICICRCIw=(0.105,0.637,0.258)TRI=0.58（2）构造判断矩阵C1–P、C2–P、C3–P