层次分析法AHP课件.

数学建模中的层次分析法层次分析法(AHP)一、概述二、基本思路三、步骤四、应用举例五、几个问题六、建模中的应用一、层次分析法概述层次分析法美国运筹学家Saaty于二十世纪70年代提出一种实用的多方案或多目标的决策方法它合理地将定性与定量的决策结合起来按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。背景：决策问题----在多种方案中依据一定的标准选择某一种方案。（购物、旅游、排队、择业……）人物：T.L.Saaty----美国著名运筹学专家，皮斯堡大学教授历史：曾研究应急计划、电力分配、运输业研究，1979正式提出层次分析法。美国高等教育事业1985-2000展望，1985年世界石油价格预测等。工具：矩阵理论，Matlab作用：层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重数。-------能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价、决策二、基本思路分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策先分解后综合的系统思想：首先将所要分析的问题层次化：根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2…………………递阶层次结构判别矩阵ZC1C2C3…CnC1a11a12a13…a1nC21/a12a22a23…a2nC31/a131/a23a33…a3n………………Cn1/a1n1/a2n1/a3n…annnnnnnnnnijaaaaaaaaaaA212222111211jiijaa10ija三、基本步骤1、建立系统的递阶层次结构(如图)（分析系统中各个因素的关系）2、构造两两比较判断矩阵（正互反矩阵）(如图)（对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较）3、层次单排序及一致性检验（根据判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并做一致性检验)4、层次总排序及一致性检验(计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序、检验)以例说明目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳•将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。•通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。•将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性ijjiaCC:A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地OC1C2C3C4C5C111/2433C221755C31/41/711/21/3C41/31/5211C51/31/5311nnnnnn21222121211171242/11A成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况n,,)1(21jiijwwa/令权向量~),,(21Tn成对比较阵和权向量wAw111122221212nnnnnn成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,,2,1,,,满足的正互反阵A称一致阵，如•A的秩为1，A的唯一非零特征根为n•A的任一列向量是对应于n的特征向量•A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量2468比较尺度aijSaaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579ija相同稍强强明显强绝对强的重要性jiCC:jiCC:~aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反•心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个•用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。•便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵1nnCI定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.072权向量(特征向量)w=(0.264,0.476,0.054,0.098,0.109)T5.07250.01851CI一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为Tn),,()2()2(1)2(同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量12/15/1212/15211B方案层对C1(景色)的成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根12…n权向量w1(3)w2(3)…wn(3)第3层对第2层的计算结果k)3(kwkkCI10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),CIk均可通过一致性检验w(2)0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)TTn),,()2()2(1)2()2()3()3(组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pmnk),,()3()3(1)3(第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量],,[)3()3(1)3(n构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量)2()3()1()()(第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。四.层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。•处理问题类型：•(1)评价、评判类的题目。这类题目都可以直接用层次分析法来评价，例如奥运会的评价、彩票方案的评价，导师和学生的相互选择、建模论文的评价，城市空气质量分析等。•(2)资源分配和决策类的题目。这类题目可以转化为评价类的题目，然后按照AHP进行求解，如将一笔资金进行投资，有几个备选项目，那么如何进行投资分配最合理呢？这类题目还有一个典型的应用，就是方案的选择问题，比如景点的选择，电脑的挑选，学校的选择，专业的选择等。•（3）一些优化问题，尤其是多目标优化问题。这些优化问题一旦具有如下特征：问题中存在一些难以度量的因素；问题结构在很大程度上依赖于决策者的经验；问题的某些变量之间存在相关性；需要加入决策者的经验、偏好等。常借助AHP将复杂问题转化为典型的、便于求解的优化问题。如多目标规划，借助AHP确定各个目标的权重，从而转化为单目标规划问题国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献发展声誉关系位置供选择的岗位例1国家实力分析例2工作选择过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价A经济代价B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价五.层次分析法的若干问题•正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？•怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？•为什么用特征向量作为权向量？•当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？层次分析法的优点•系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；•实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；•简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限•囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；•粗略——定性化为定量，结果粗糙；•主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。六、建模中的应用1.*资金决策问题2.工作选择问题3.质量评价问题4.*最佳食品搭配问题5.*住房分配问题.pdf6.*公务员招聘问题.pdf（结合0-1规划）7.建模组队问题.doc（结合动态规划韩中庚《数学建模方法及其应用》）8.石油投资问题.pdf（结合模糊评价清华大学学报2006（46）6）9.*银行排名10.彩票问题