中考数学压轴题破解策略专题26《相似三角形的存在性》

1专题26《相似三角形的存在性》破解策略探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程．掌握一些相似的基本模型有助于快速解决问题，相似三角形的基本模型有：1．“A”字形已知：在△ABC中．点D在AB上，点E在AC上．DE∥BC．结论：△ABC∽△ADE．DECBA2．反“A”字形（1）已知：在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠AED＝∠ABC．结论：△ABC∽△AED．ABCDE（2）已知：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．结论：△ABC∽△A（：D．ABCD3．“8”字形已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC．结论：△ABC∽△AED．ABCDE4．反“8”字形已知：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，∠ADE＝∠ABC．结论：△ABC∽△ADE．2ABCDE5．双垂直已知：△ABC中，∠BAC＝90，AD为斜边BC上的高．结论：△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD．DBCA6．一线三等角（1）已知Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三点共线，90BEACD．结论：△ABC∽△CED．DBEAC（2）已知△ABC和△CDE，B，C，E三点共线，90BEACD．结论：△ABC∽△CED．DBECA（3）已知△ABC和△CED，B，C，E三点共线，90BEACD．结论：△ABC∽△CED．DBECA例题讲解例1如图，已知A（－1，0），B（4，0），C（2，6）三点，G是线段AC上的动点（不与点3A，C重合）．若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．xyCBAOG解：设直线AC的表达式为ysxt，把A，C两点坐标代入可得062stst，解得22st．所以直线AC的表达式为22yx．设点G的坐标为（k，－2k－2），因为点G与点C不重合，所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．所以AGABABAC．而AB＝5，22(21)(6)35AC，22(1)(22)51AGkkk，所以515535k，即513k，解得123k，283k（舍）．所以点G的坐标210(,)33．例2如图，抛物线2(2)(4)8yxx与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D．P是抛物线上一点，问：是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．xyDCBAO解：存在．因为点A（－2，0），B（4，0），C（0，2），过点D（2，2）作DE⊥AB于点E，由勾股定理得32,6ADBD．4①如图，当△1PAB∽△ABD时，1PBABABBD，所以166PB．过点1P作11PM⊥AB于点1M，所以111PMDEPBBD，解得1162PM．∵11BMBEPBBD=，∴112BM，∴点1P的坐标为（－8，62），因为此时点1P不在抛物线上，所以此种情况不存在．②当△2PAB∽△BDA时，2PBABABAD=，所以262PB=．过点2P作22PM⊥AB于点2M，所以222PMDEPBAD=，解得2222PM=．因为22BMAEPBAD=，所以28BM，所以点2P的坐标为（－4，22），将x＝－4代入抛物线的表达式得22y=，所以点2P在抛物线上．③由抛物线的对称性可知：点2P与点3P关于直线x＝1对称，所以3P的坐标为（6，22）．④当点4P位于点C处时，两个三角形全等，所以点4P的坐标为（0，2-）．综上所得，点P的坐标为（－4，22），（6，22）或（0，2-）时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似．xyM2P2M3P3P1M1DC(P4)BAO例3如图，已知直线3yx与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线2yxbxc经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．5xyQMBAOP解：∵3yx与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入2yxbxc，得9303bcc，解得23bc，所以抛物线的解析式为2223(1)4yxxx．∴点M的坐标为（1，4），22112MB．所以222BMABAM，90MBA．如图，设运动时间为t秒，则OP＝t，(3)2BQt．①当△BOP∽△QBM时，MBBQOPOB，即2(3)23tt，整理得：2330tt，而234130，所以此种情况不存在；②当△BOP∽△MBQ时，MBBQOBOP，即2(3)23tt，解得94t．所以当94t时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．xyQMBAOP进阶训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线234yxbxc的图象交x轴于4,0A，1,0B两点，交y轴于点C．6（1）求抛物线的表达式和对称轴；（2）若P是线段OA上的一点（不与点O，A重合），Q是AC上一点，且PQ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由．xyBACOQP解：（1）抛物线的表达式为239344yxx，对称轴为32x（2）存在．点D的坐标为4,0，7,08．[提示]（2）由题意知△APQ为等腰三角形，如果△ACD与△APQ相似，那么△ACD也是等腰三角形．①如图1，当AD为底边时，D，A关于y轴对称，此时点D的坐标为4,0；②如图2．当AC为底边时，58DAAC，所以58DA，此时点D的坐标为7,08．xy图1ODCAxy图2OCDA2．如图，设抛物线22yaxbx与x轴交于不同的点1,0A，,0Bm，与y轴交于点C，已知ACB＝90°．（1）求m的值和抛物线的表达式；（2）已知点1,Dn在抛物线上，过点A的直线1yx交抛物线与另一点E．若点P在x轴上，是否存在这样的点P，使得以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似？7xyEACBOD解：2．（1）4m，抛物线的表达式为213222yxx；（2）存在．点P的坐标为13,07或22,05【提示】（1）由已知条件可得OA＝1，OC＝2，易证△AOC∽△COB，从而m＝OB＝4，再将A，B两点的坐标代入表达式即可求得．（2）易求得点1,3D，6,7E，分别过点D，E作x轴的垂线，垂足分别为H，G．易证EAG＝DBH．所以△PBD和△AEB相似存在两种情况：①如图1，当△ABE∽△BPD时，有ABBPAEBD，得点P的坐标为13,07②如图2，当△ABE∽△BDP时，有ABBDAEBP，得点P的坐标为22,05．xy图1EACBODHGPxy图2EACBODP3．如图，抛物线223yxx与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧部分上运动，直线m经过B，Q两点，与y轴交于点N，与直线l交于点G．问：是否存在直线m，使得直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似（不包括全等）？若存在，求出直线m的表达式，若不存在，请说明理由．8xymlGBNCAOQ解．存在，直线m的表达式为113yx．【提示】根据AGB＝GNC＋GCN．所以当△AGB∽△NGC时，只能AGB＝CGB＝90°，所以△AOC≌△NOB，所以直线m的表达式为113yx．