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1专题23《平行四边形的存在性》破解策略以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综台性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高，这类题，一般有两个类型：（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有：①_x0001_作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线，三条直线的交点为D，E，F．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．FEDCBA②倍长中线：如图，延长边AC，AB，BC上的中线，使延长部分与中线相等，得点D，E，F，连结DE，EF，FD．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．ABCDEF（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形．解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．如图，若AB∥CD且AB＝CD，分别过点B，C作一组平行线BE，CF，分别过点A，D作一组平行线AE，DF，则△AEB≌△DFC，从而得到线段间的关系式解决问题．ABCDEF（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．如图．已知平行四边形ABCD．连结AC，BD交于点O．设顶点坐标为A（xA，yA）．B（xB，yB），2C（xC，yC），D（xD，yD）．ODCBA①_x0001_用平移的性质求未知点的坐标：,,.BACDBCADBACDBCADxxxxxxxxyyyyyyyy祆-=--=-镲镲眄镲-=--=-镲铑或②利用中点坐标公式求未知点的坐标：,22.22ACBDACBDxxxxyyyyì++ïï=ïïïíï++ï=ïïïî有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．例题讲解例1如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A（3，0），B（0，﹣3），P是直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的表达式；（2）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．yxMOPBA解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线的表达式，得y＝x2－2x＋3．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A，B的坐标代入，得y＝x－3．（2）存在．因为PM∥OB，所以当PM＝OB时，四边形即为平行四边形．根据题意设点P的坐标为（p，p－3），则点M的坐标为（p，p2－2p－3）．所以2(3)(23)3ppp----=．解得3212p±=，故满足条件的点P的横坐标为3212p±=．例2边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，D是OA边的中点，3连结CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC，以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．（1）求抛物线的表达式；（2）M为直线上一动点，N为抛物线上一动点，问：是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平形四边形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．ExyOABCD图1GExyOABCD解（1）如图1，过点E作EG⊥x轴于点G．易证△ODC≌△GED（AAS），所以112GEODOA===．所以点E的坐标为（3，1）．而直线AB为抛物线的对称轴，直线AB的表达式为x＝2，所以可设抛物线的表达式为y＝a（x－2）2＋k，将C，E两点的坐标代入表达式，得42,1,akakì+=ïïíï+=ïî解得1,32.3akìïï=ïïïíïï=ïïïî所以抛物线的表达式为221214223333yxxx（2）存在．由题意可设点M的坐标为（2，m），N的坐标为214,233nnn．以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能：4①当DE为平行四边形的边时，（i）如图2，若DE∥MN，MD∥NE，由平移的性质可得22131402133nmnn解得1.4.mn此时点M的坐标为（2，1），N的坐标为（4，2）．（ii）如图3，若DE∥MN，ME∥ND．由平移的性质可得2123.14201.33nnnm解得3.0.mn此时点M的坐标为（2，3），N的坐标为（0，2）．②当DE为平行四边形的对角线时，如图4．由平行四边形对角线互相平分性质可得2132.14012.33nmnn解得1.32.mn此时点M的坐标为12,3，N的坐标为22,.3例3如图，抛物线2yxbxc的顶点为D（－1，－4），与y轴交于点C（0，－3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．5（1）求抛物线的表达式；（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．解（1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，得223.yxx（2）存在．令212230,1,3.xxxx解得所以点A的坐标为（－3，0），B的坐标为（1，0）．由点F在抛物线上可设点F的坐标为2,23mmm．方法一：①如图1、图2，当AC为平行四边形的边是，图1图2过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P．易证△PEF≌△OCA．所以PF＝AO＝3，从而点F的坐标为（2，5）或（－4，5）．②如图3，当AC为平行四边形的对角线时，过点F作FP⊥y轴于点P．令抛物线的对称轴交x轴于点Q，易证△PCF≌△QEA．所以PF＝AQ＝2，从而点F的坐标为（－2，－3），此时点F与点C纵坐标相同，所以点E在x轴上．yxOPFEDCBAyxOPFEDCBA6图3方法二：①如图3，当AC，EF为平行四边形的对角线时，可得2302303EExmymm，．又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m＝－2，则点F的坐标为（－2，－3）．②如图1，当AE，CF为平行四边形的对角线时，可得2325EExmymm+，．又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m＝－4，则点F的坐标为（－2，－3）．③如图2，当AF，CE为平行四边形的对角线时，可得232EExmymm，．又因为点E在抛物线的对称轴上，所以m＝2．则点F的坐标为（2，5）．综上可得，满足平行四边形的点F的坐标为（－2，－3）（－4，5）（2，5）进阶训练1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD//BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm，点P从点A出发，沿AD以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，沿CB以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．问：从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？PCABDQ2．如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，抛物线的顶点位P．（1）求抛物线的表达式；yxOPFEDCBA7（2）直线y＝2x＋3上是否存在点M，使得以A，P，C，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．xyPOCBA3．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴．y轴建立平面直角坐标系．若点N在过O．D．C三点的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，问是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在．请求出M点坐标;若不存在，请说明理由．答案：存在满足条件的点M，其坐标为（2，16），（－6，16）或（－2，－316）．[提示]：易证△DAE∽△EOC，从而点D的坐标为)5-,23-(，得到过点O，D，C的抛物线的解析式为xxy316342+=．再分类讨论，由对角线互相平分，中点横纵坐标相等列出方程，从而找到符合条件的点M．（参考例3的方法二）4．如图，抛物线与x轴交于点A（－5，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P，Q．交直线AC于点M，N．在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．答案：点M的坐标为（－2，3），)63,62-()6-3,6-2-(++或8[提示]．由点A，B，C的坐标可得抛物线的表达式为532-31-2+=xxy，直线AC的表达式为y＝x＋5，设点M的坐标为（t，t＋5），则点N（t－1，t＋4），P（t，)31631-,1-(),532-31-22++ttQtt．在矩形平移的过程中，以P，Q，N，M为顶点的平行四边形有两种情况：①当P，Q在直线AC同侧时，有yP－yM＝yQ－yN，得到点M的坐标为（－2，3）;②当P，Q在直线AC异侧时，有yP－yM＝yN－yQ．得到点M的坐标为（－2－6，3－6）或（－2＋6，3＋6）．