山东概率计算题(理)汇编

第-1-页共8页山东概率计算题（理）汇编2014.4.192013.19、（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设每局比赛结果互相独立。（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率;（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望。2012.（19）（本小题满分12分）现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX2011.18、（本题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E。2010.（20）（本小题满分12分）某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为41,31,21,43，且各题回答正确与否相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用表示甲本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望E.2009.(19)(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345第-2-页共8页p0.03P1P2P3P41.求q2的值；2.求随机变量的数学期望E;3.试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。2008.（18）（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).2007.18（本小题满分12分）设bc和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程20xbxc实根的个数(重根按一个计).(I)求方程20xbxc有实根的概率;(II)求的分布列和数学期望;(III)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程20xbxc有实根的概率.答案2013.19、解：（1）设“甲队以3:0胜利”为事件A；“甲队以3:1胜利”为事件B“甲队以3:2胜利”为事件C33032232224218()()()33272128()()()333272114()()()33227PACPBCPCC(2)根据题意可知的可能取值为：“0,1,2,3”0031123322242224331221331212216(0)()()()()33333271214(1)()()332271214(2)()()33227121211(3)()()()()()333339PCCPCPCPCC乙队得分的的分布列如图所示：：第-3-页共8页0123P162742742719数学期望：164417012327272799E.2012.19.解析：（Ⅰ）367323141)31(43122CP；（Ⅱ）5,4,3,2,1,0X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222CXPXPXP,31)32(43)5(,91)32(41)4(,31323143)3(2212XPXPCXPX012345P36112191319131EX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241.2011.18、解析：（Ⅰ）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,,DEF,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件,,DEF，根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()PPDEFPDEFPDEFPDEF()()()()()()()()()()()()PDPEPFPDPEPFPDPEPFPDPEPF0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55.（Ⅱ）依题意可知0,1,2,3，(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1PPDEFPDPEPF；(1)()()()PPDEFPDEFPDEF0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35;(2)()()()PPDEFPDEFPDEF0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4;(3)()0.60.50.50.15PPDEF.故的分布列为0123P0.10.350.40.15故00.110.3520.430.151.6E.2010.（20）本小题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查对立事件、独立事件的概率和第-4-页共8页求解方法，考查用概率知识解决实际问题的能力.解：设,,,ABCD分别为第一、二、三、四个问题.用1(1,2,3,4)Mi表示甲同学第i个问题回答正确，用1(1,2,3,4)Ni表示甲同学第i个问题回答错误，则1M与1N是对立事件(1,2,3,4)i.由题意得12343111(),(),(),(),4234PMPMPMPM所以12341123(),(),(),()4234PNPNPNPN（Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，则（Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为：2,3,4.由于每题答题结果相互独立，第-5-页共8页所以因此随机变量的分布列为234P183812所以131272348828E.2009.(19)解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,()0.75PA,P(B)=q2,2()1PBq.根据分布列知:=0时22()()()()0.75(1)PABBPAPBPBq=0.03,所以210.2q，q2=0.2.（2）当=2时,P1=)()()(BBAPBBAPBBABBAP)()()()()()(BPBPAPBPBPAP=0.75q2(21q)×2=1.5q2(21q)=0.24当=3时,P2=22()()()()0.25(1)PABBPAPBPBq=0.01,当=4时,P3=22()()()()0.75PABBPAPBPBq=0.48,当=5时,P4=()()()PABBABPABBPAB222()()()()()0.25(1)0.25PAPBPBPAPBqqq=0.24所以随机变量的分布列为02345第-6-页共8页p0.030.240.010.480.24随机变量的数学期望00.0320.2430.0140.4850.243.63E（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为()PBBBBBBBB()()()PBBBPBBBPBB222222(1)0.896qqq;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.2008.18.(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且所以ε的分布列为ε0123P2719294278ε的数学期望为Eε=.227839429212710解法二：根据题设可知)32,3(B～因此ε的分布列为2323),32,3(.3,2,1,0,32)321()32()(3323EBkCCkPkkkkk所以～因为（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又.278)32()3(,94)321()32()2(,92)321(32)1(,271)321()0(3333232231330CPCPCPCP第-7-页共8页,34)213131()32()(,310213132213231213132)321()32()(52324232CDPCCP由互斥事件的概率公式得24334334354310)()()(54DPCPABP.解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).=.24334)32213121(32)2131()32(2212323223CC2007.18.解：:（I）基本事件总数为6636，若使方程有实根，则240bc，即2bc。当1c时，2,3,4,5,6b；当2c时，3,4,5,6b；当3c时，4,5,6b；当4c时，4,5,6b；当5c时，5,6b；当6c时，5,6b,目标事件个数为54332219,因此方程20xbxc有实根的概率为19.36(II)由题意知，0,1,2，则17(0)36P，21(1),3618P17(2)36P，故的分布列为第-8-页共8页012P17361181736的数学期望171170121.361836E(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程20axbxc有实根”为事件N，则11()36PM，7()36PMN，()7()()11PMNPNMPM.