哈尔滨工业大学2015秋数值分析试题及答案

1.3,2x分别是方程328120xxx的根；讨论用Newton迭代法求它们近似值的收敛阶。取初值02x计算根3x的近似值，要求迭代3次。（结果保留4位小数）解：设32()812fxxxx2()328fxxx()62fxx(3)0,(3)0ff，(2)0,(2)0,(2)100fff则：3是()0fx的单根，故Newton迭代在3附近是平方收敛；2是()0fx的二重根，故Newton迭代在2附近是线性收敛；取02x，Newton迭代：3212()812()328nnnnnnnnfxxxxxxxfxxx223634nnnxxx2001023634xxxx2112123634xxxx2223223634xxxx2.设常数0a，求出a的取值范围使得解方程组112233212313axbaxbaxb的Jacobi迭代法收敛。解：Jacobi迭代：(1)()kkJxBxg10210211203203130130JaBaaa1123abgabab迭代矩阵JB的特征方程：021211120323013013JaEBaaaa即：3()14()0aa特征根：140,ia谱半径：14()1JBa时Jacobi迭代收敛故：14a3.设（1）用Crout三角分解法求解方程组12323251034133619xxx；（2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。（取0(0,0,1)Tv，计算迭代三次的值）解：（1）Crout三角分解：31122322110341012123613111324ALU21012311324L，31121121ULybAxbUxy求解Lyb得5,1,02Ty求解Uxy得1,1,0Tx（2），0000,0,1max()Tvuv1102,4,1TvAu，1110.5,1,0.25max()Tvuv421,,TvAu，2220.5,1,0.8611max()Tvuv932,,TvAu，3330.5,1,0.7306max()Tvuv，11.440(0,0,1)Tv5.求4次Hermit插值多项式()Hx，满足：(0)(0)0,(1)(1)1,(2)1HHHHH并写出误差表达式。解：方法一：因(0)(0)0HH，故设：22()()Hxxabxcx由(1)(1)1,(2)1HHH，得12341241abcabcabc得931,,424abc221()(3)4Hxxx误差：(5)22()()()()(1)(2),(0,2)5!fExfxHxxxx方法一：满足(0)0,(1)(2)1HHH的插值多项式为：2231()22pxxx设：2()()()(0)(1)(2)HxpxABxxxx由3(0)20,21(1)()12HBHAB得：由13,44AB22311()(3)(0)(1)(2)2241(3)4Hxxxxxxxxx误差：(5)22()()()()(1)(2),(0,2)5!fExfxHxxxx6.试求求积公式20122323()()()33fxdxAfAf的求积系数01,AA，使得其有尽可能高的代数精度，是否是Gauss型的？并用此公式计算积分20sinxdx（结果保留5位小数）。解：令()1,fxx求积公式准确成立，有：010142323()()033AAAA得：012AA求积公式：222323()2()2()33fxdxff令23(),fxxx求积公式准确成立的，4()fxx求积公式不是准确成立的，求积公式代数精度为3，是Gauss型的；作变换(2),[2,2]8xtt222022sinsin(2)sin(2)22288882323[2sin(2)2sin(2))]883830.99848xdxtdttdt7.用最小二乘法求一个形如2yaxb的经验公式，使它与下列数据拟合ix1925313844iy19.032.349.073.397.8解：取201()1,()xxx，拟合函数为201()()ybxaxbax法方程为：55327271.453277277699369321.5baab得：0.050351,0.9726045ab拟合函数为20.05003510.9726045yx8.用共轭梯度方法解方程组：12215135xx（取初值(0)(0,0)Tx）。共轭梯度方法:()()(0)(0)0(1)()(1)()(1)(1)(1)1()()(,),(,),(,),(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAAArrprbxppxxprrprrprprr解：2113A是对称正定阵；(0)(0)0(5,5)TAprbx(0)(0)000(,)2(,)7Arrpp(1)(0)001010(,)77Txxp(1)(0)0055(,)77TArrp(1)(1)0(0)(0)(,)1(,)49rrrr(1)1004030(,)4949Tprp(1)(1)111(,)7(,)10Arrpp(2)(1)11(2,1)Txxp(1)(0)00(0,0)TArrp解为：(2)(2,1)Tx9.应用Heun方法：112121(3)4(,)22(,)33nnnnnnhyyKKKfxyKfxhyhK解初值问题580(0)2yyy时，问步长h应如何选取方能保证方法的绝对稳定性？并在1,2h中选取数值稳定的步长计算(2)y的近似值.解：将Heun方法应用到方程580yy上，有：21(1),2nnhyhy其中81.65hhh当(2,0)h时，方法是绝对稳定的，即5(0,)(0,1.25)4h时方法是绝对稳定的；故取51(0,)(0,1.25)4h，即85h，方法是绝对稳定的117,25nnyy1017341.36,2525yy211717345780.9248,252525625yy10.求解常微分方程初值问题,,yfxyaxbya的两步方法：111(58)12nnnnnhyyyyy（1）求出局部截断误差；（2）讨论方法的收敛性；（3）讨论方法的绝对稳定性。解：011015811,0,,,121212aabbb（1）把局部截断误差nT在nx处Taylor展开：()01()()()rrnnnrnTcyxchyxchyx01230cccc41024c44(4)(4)1()(),(,)2424nnnnnnhhTyxyxx（2）010cc，方法是相容的；第一特征多项式：2()rrr，2()0rrr两根为：011,0,rr11,1irr是单根，方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。（2）稳定多项式：252(;)(1)(1)12312hrhhrhr，由绝对稳定性要求知0,h故51012h由参考定理知：(;)0rh的两根0,1()1rh213121551112121215112hhhhhh25(1)(1)31212511212hhhhh故(6,0)h，即当(6,0)h时方法是绝对稳定的。应用1.试确定0是方程22()1220xfxexx的几重根；取初值00.25x用改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法求()0fx的根0的近似值。要求迭代2次（结果保留4位小数）。解：22()122xfxexx，2()224xfxex2()44xfxe2()8xfxe(0)(0)(0)0,(0)80ffff0是方程()0fx的3重根；改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法：1222()3()1223224nnnnnnxnnnxnfxxxfxexxxex1x0022000201223224xxexxxex2x1122111211223224xxexxxex应用4.若用复化梯形公式计算积分31sinxexdx，要求截断误差不超过410（舍入误差不计），问需要计算多少个节点上的函数值？解：()sin,()(sincos),()2cos,()3(cossin)xxxxfxexfxexxfxexfxexx复化求积公式余项为：2()()(),[,]12nbaEfhfab其中：bahn因cos1,x有3()2fe若4()10nEf，得：422310he即33.8610h2517.5nh取518n，故至少需519个节点才能保证截断误差不超过410。应用9.写出经典4阶Runge-Kutta方法求解初值问题83(0)2yyy的计算公式，并取步长0.2h，计算(0.4)y的近似值.（小数点后至少保留4位）解：(,)83,0.2fxyyh11234121123122413(22)6(,)83(,)5.62.12(,)6.322.372(,)4.1081.578nnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKKfxyyhKfxyKyhKfxyKyKfxyKhy11.20160.5561nnyy1(0.2)2.3138yy2(0.4)2.4883yy