2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷)文科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.()BABA,则,,,,,,已知集合}2101-2{-}20{A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A解析:求解集合的交集2.||211ziiiz,则设A.0B.C.1D.212【答案】C【解析】iiiiz211∴1z选C3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好的了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下拼图:则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A解析:统计图的分析4.,则C的离心率为),的一个焦点为(:已知椭圆0214222yaxCA.B.C.D.312122322【答案】C解析:椭圆基本量的计算5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为01,02,过直线0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为A.B.C.D.10π212π12π28【答案】B解析:简单的空间几何体的计算6.,处的切线方程axxaxxf23)1()(设函数),在点(为奇函数,则曲线若00)()(xfyxf为A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【答案】D【解析】若为奇函数fx∴,则xfxfaxxaxxaxax232311∴1a,则,直线方程可求得132/xxf10/fyx因此选D7.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=EBA.B.CABA4143CABA4341C.D.CABA4143CABA4341【答案】A【解析】根据中线可知,ACABAD2121根据点E为AD的中点,ACABADAE414121根据三角形法则可得ACABAEABEB4143∴选A8.已知函数,则2sincos2)(22xxxfA.F(x)的最小正周期为π,最大值为3B.F(x)的最小正周期为π,最大值为4C.F(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.F(x)的最小正周期为2π,最大值为4【答案】B解析:三角函数的运算、最值、最小正周期的求解9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为A.B.C.3D.217252【答案】B【解析】还原圆柱体及点M和N在圆柱中的位置,再展开圆柱的侧面根据线段最短可求524222MNNMNM10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为A.8B.C.D.262838【答案】C解析:线面角的相关计算11.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a-b|=32A.B.C.D.15155552【答案B】解析:根据三角函数定义:对照点A(1,a)cosα=,sinα=又∵cos2α=cos2α-sin2α==a2=2a112a1a22a1a-13251对照点B(2,b)cosα=,sinα=cos2α==,b2=2b422b4b22b4b-43254又∵a,b0不妨取a=,b=|a-b|=55552552-x,x≤0,12.设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是1,x0,A.(-,-1]B.(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)答案:D解析:如图所示为f(x)图像1°2xx+12°2x0x+1≤0x≤-1x+1≥0-1≤x0综上1°,2°x(-,0)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=答案:-7解析:f(3)=log2(9+a)=19+a=2a=-7x-2y-2≤014.若x,y满足约束条件x-y+1≥0,则z=3x+2y的最大值为y≤0答案:6解析:动直线L:y=+,当L经过点B(2,0)时z最大,Zmax=2*3+0=623x-2z15.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交与A,B两点,则|AB|=答案:22解析:作OC⊥AB于C点,圆O为:x2+(y+1)2=4O(0,-1),R=2OC=α==在RtOBC中,AB==2222-422216.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为答案:332解析:由原式bsinC+csinB=4asinBsinC得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC得sinA=A=或216π65π又∵b2+c2-a2=80,A=由cosA==,得=86πbc2acb22223bc3bc=,SABC=bcsinA=3821332三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。解(1)由题意得,,4412aa246223aa123a,,111ab2222ab4333ab(2)数列{}为等比数列,证明如下:nb将,代入得:nnnba11)1(nnbnannanna)1(21nnbnnbnn)1(2)1(1即,所以数列{}为等比数列21nnbbnb(3)由数列{}为等比数列,知,所以nbn1nb12n1nnanbn218.证明(1)CDABACM//,90,又,ACABADABAC∩ADA平面又平面ABACDABABC平面平面ACDABC(2)在上找一点,使得,则有ACN1ANAC3QN//DC平面平面平面平面=ACDABCACDABCACACDC平面又平面DCABCQN//DCQNABP又,11QNCDCN133333213232ABCABPSS所以QABPABP11VQNS1313319.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m2)和使用节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m2的概率(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)19.(1)如图所示(2)由题意得:P=0.02+0.1+0.26+0.1=0.48(3)使用前50天用量:0.051+0.153+0.252+0.354+0.459+0.5526+0.655=24使用后50天用量:0.051+0.155+0.2513+0.3510+0.4516+0.555=17.5一年节约用水量:36550(24-17.5)=47.4520、设抛物线C:,点,过点A的直线与C交M,N两点,22yx(2,0),(2,0)ABl(1)当与轴垂直时,求直线的方程lxBM(2)证明:ABMABN【解析】(1)当轴时,可得或lx(2,2)M(2,2)M当时,直线的方程为即(2,2)MBM1(2)2yx220xy当时,直线的方程为即(2,2)MBM1(2)2yx220xy综上可得直线的方程为BM220220xyxy或(2)由分析的欲证即证明ABMABN0BMBNKK当直线的斜率为0时,可知与抛物线只有一个交点,不合题意。l故设直线的方程为,设l2xmy1122(,),(,)MxyNxy将联立可得,,222xmyyx2240ymy22164(4)16160mm,,122yym124yy则12121221121211(4)(4)2244(4)(4)BMBNyyyyymyymyKKxxmymymymy1211222121224()8804()164816myyyymmmyymyymmABMABN21、(12分)已知函数()ln1xfxaex(1)设是的极值点,求,并求出的单调区间;2x()fxa()fx(2)证明:当时,1ae()0fx【解析】(1)'1()xfxaex是的极值点可得2x()fx'(2)0f212ae令则恒成立'21()2xefxex21()2xehxex'221()02xehxex为单调递增函数,且'()fx'(2)0f当时,当时,02x'()0fx2x'()0fx由此可得在上为递减区间,在上为递增区间()fx0,22,(3)欲证当时,先证明1aeln10xaexxeex设()xgxeex'()xgxee当时为递增取区间,当时为递减区间,1x01x,不等式得证()(1)0gxgee0xeex当时,1ae11ln1ln1ln1ln1xxaexexexxxxee故要证明只需要证明ln10xaexln10xx令可得()ln1Hxxx'11()1xHxxx在上递减,在上递增,可得()Hx0,11,()(1)0HxH即得由此即可得ln10xxln10xaex请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程-在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标xOy1C2ykxx系,曲线的极坐标方程为.2C22cos30(1)求的直角坐标方程;2C(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.1C2C1C解析:(1)C2的直角坐标方程为:x²+y²+2x-3=0,(x+1)²+y²=4(2)由题得:y=kx+2与圆相切圆心(-1,0)到此直线距离为,解得k=0(舍)或k=-2k22k134y=-+234x23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲-已知.11fxxax(1)当时,求不等式的解集;1a1fx(2)若时不等式成立,求的取值范围.0,1xfxxa解:a=1(1)f(x)=-1x1x①x≤-1f(x)=-x-1-(1-x)=2-1x1f(x)=x+1-(1-