数学研究课题空间几何体的外接球与内切球问题(55278)

----数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题例1．用两个平行平面去截半径为R的球面，两个截面圆的半径为cmr241，cmr152．两截面间的距离为cmd27，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于2211,BABA，上述大圆的垂直于11BA的直径交2211,BABA于21,OO，如图2．设2211,dOOdOO，则2222222121152427RdRddd，解得25R．)(2500422cmRS圆．说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．例2．自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MCMBMA,,，求222MCMBMA的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MCMBMA,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABCM补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．222MCMBMA=224)2(RR．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r，正方体的棱长为a，它们的体积均为V，则由43,3433VrVr，343Vr，由,3Va得3Va．----322324)43(44VVrS球．32322322166)(66VVVaS正方体．2164324V32216V，即正方体球SS．说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．例4．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD的中心为O，BCD的中心为1O，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设ROArOO,1，正四面体的一个面的面积为S．依题意得)(31rRSVBCDA，又SrVVBCDOBCDA3144rrR4即rR3．所以914422Rr外接球的表面积内切球的表面积．271343433Rr外接球的体积内切球的体积．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径hr41(h为正四面体的高)，且外接球的半径rR3．例5半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．解：∵棱锥底面各边相等，∴底面是菱形．∵棱锥侧棱都相等，----∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，则底面对角线aAC2，故截面SAC是等腰直角三角形．又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以RAC2，即Ra2．∴高RSO，体积33231RSOSV底．说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．例6在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA．求这个球的表面积．分析：24RS球面，因而求球的表面关键在于求出球的半径R．解：设过A、B、C三点的球的截面半径为r，球心到该圆面的距离为d，则222drR．由题意知P、A、B、C四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥ABCP（如图所示）．ABC的外接圆是球的截面圆．由PA、PB、PC互相垂直知，P在ABC面上的射影'O是ABC的垂心，又aPCPBPA，所以'O也是ABC的外心，所以ABC为等边三角形，且边长为a2，'O是其中心，从而也是截面圆的圆心．----据球的截面的性质，有'OO垂直于⊙'O所在平面，因此P、'O、O共线，三棱锥ABCP是高为'PO的球内接正三棱锥，从而'PORd．由已知得ar36，aPO33'，所以2'2222)(PORrdrR，可求得aR23，∴2234aRS球面．说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．例7已知棱长为3的正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点，且FCAF2，AEBE2．求四面体AEFD的内切球半径和外接球半径．分析：可用何种法求内切球半径，把AEFDV分成4个小体积(如图)．解：设四面体AEFD内切球半径为r，球心N，外接球半径R，球心M，连结NA、NE、NF、ND，则EFDNADENAFDNAEFNAEFDVVVVV．四面体AEFD各面的面积为2392ABCAEFSS，23332ABCAFDSS，43331ABCAEDSS．DEF各边边长分别为3EF，7DEDF，∴345DEFS．∵2292ABCDADEFVV，)(31DEFAEDAFDAEFAEFDSSSSrV，∴)43543323323(3122r，----∴86r．如图，AEF是直角三角形，其个心是斜边AF的中点G．设ABC中心为1O，连结1DO，过G作平面AEF的垂线，M必在此垂线上，连结1GO、MD．∵ABCMG平面，ABCDO平面1，∴1//DOMG，1GOMG．在直角梯形DMGO1中，11GO，61DO，RMD，1222RAGAMMG，又∵22121)(MDGOMGDO，∴2221)16(RR，解得：210R．综上，四面体AEFD的内切球半径为86，外接球半径为210．说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．例8球面上有三点A、B、C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18AB，24BC、30AC，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222dRr求出球半径R．----解：∵18AB，24BC，30AC，∴222ACBCAB，ABC是以AC为斜边的直角三角形．∴ABC的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15r，又球心到截面的距离为Rd21，∴22215)21(RR，得310R．∴球的表面积为1200)310(4422RS．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22dRr解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60，若球半径为R，求弦AB的长度．由条件可抓住BCDA是正四面体，A、B、C、D为球上四点，则球心在正四面体中心，设aAB，则截面BCD与球心的距离Rad36，过点B、C、D的截面圆半径ar33，所以222)36()33(RaRa得Ra362．例9正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．解：如图，球O是正三棱锥ABCP的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．PH是正三棱锥的高，即1PH．E是BC边中点，H在AE上，ABC的边长为62，∴26263HE．∴3PE----可以得到2321PEBCSSSPBCPACPAB．36)62(432ABCS由等体积法，ABCOPBCOPACOPABOABCPVVVVV∴RR36313233113631得：2633232R，∴)625(8)26(4422RS球．∴33)26(3434RV球．说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R来求出R，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R2，四个球心构成一个棱长为R2的正四面体，可以计算正四面体的高为RR362236，从而上面球离开桌面的高度为RR3622．例10求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDDC，截球面得球的大圆圆1O．设球的半径ROO1，则它的外切圆柱的高为R2，底面半径为R；ROOOB330cot1，----RROBSO33360tan，∴334RV球，3222RRRV柱，3233)3(31RRRV锥，∴964∶∶∶∶锥柱球VVV．例11正三棱锥ABCP的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积．分析：求球半径，是解本题的关键．解：如图，作PD底面ABC于D，则D为正ABC的中心．∵OD底面ABC，∴O、P、D三点共线．∵lPCPBPA，2APB．∴sin22cos2222lllAB．∴sin33233ABAD，设APD，作PAOE于E，在APDRt中，∵sin332sinPAAD，又ROAOP，∴lPAPE2121．在POERt中，∵2sin3412coslPEPOR，∴)sin43(2sin433sin34123422332llV球．说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题----解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．例12在球心同侧有相距cm9的两个平行截面，它们的面积分别为24