§3.3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换(原型变换)

§4．4从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换（原型变换）对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,椭圆滤波器等,每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式，因此在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下：原型变换映射变换原型变换也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计模拟原型模拟低通、高通带通、带阻数字低通、高通带通、带阻4.4.1低通变换通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s)4）把Ha(s)变换成H(z)（数字滤波器系统函数）下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。例1设采样周期,设计一个三阶巴特沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。解：a.脉冲响应不变法由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃兹滤波器的传递函数为：322211)(ssssHa32)/()/(2)/(211)(cccassssHcs/)4(250khzfsTs以代替其归一化频率，得：得到巴特沃兹多项式的系数，之后以代替归一化频率，即得。将代入，就完成了模拟滤波器的设计，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤波变换后代入。()aHsccf2cs/为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：2/)31(3/2/)31(3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jccecAsA2/)31(,3/;2/)31(36/32jsecAjscjcNiTSiZeAZHi111)(iS对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式,有将上式部分系数代入数字滤波器的系统函数：极点并将代入，得：合并上式后两项，并将代入，计算得：12/)31(6/12/)31(6/11)3/(1)3/(1/)(ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc5.02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(ZZZZTZHTcc/可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与有关，即只与fc和fs的相对值有关，而与采样频率fs无直接关系。例如，与的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。最后得：scff/21112079.01905.015541.0571.12079.01571.1)(zzzzZHC40kHz,10kHzscff4kHz,1kHzscffb.双线性变换法（一）首先确定数字域临界频率5.02TfccTtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器临界频率(三)以代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数并将代入上式。（四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。311211111121111211211)()(11zzzzzzsHZHzzTsa231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz图1三阶Butterworth数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折叠频率处形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。,1Z4.4.2高通变换设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，有两种方法：①先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后通过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器。模拟原型模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计。即确定转换为相应的高通、带通、带阻模拟滤波器的设计Ha(s)H(Z)②直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计。频率变换模拟原型数字低通、高通、带通、带阻kk这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。变换方法的选用：脉冲响应不变法：对于高通、带阻等都不能直接采用，或只能在加了保护滤波器后才可使用。因此，使用直接频率变换（第二种方法），对脉冲响应不变法要有许多特殊的考虑，它一般应用于第一种方法中。双线性变换法：下面的讨论均用此方法，实际使用中多数情况也是如此。基于双线性变换法的高通滤波器设计：在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器.即11112zzTs由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。jjjctgTeeTseZjjj22112,时22ctgT如图即映射到即映射到即图1高通变换频率关系这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。22Tctg01z1z01.01.00图2高通原型变换应当明确：所谓高通DF，并不是ω高到，由于数字频域存在折叠频率，对于实数响应的数字滤波器，部分只是的镜象部分，因此有效的数字域仅是，高通也仅指这一段的高端，即到为止的部分。高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用,不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。2~由0~由~022kkctgT例设计一数字高通滤波器，它的通带为400～500Hz，通带内容许有0.5dB的波动，阻带内衰减在小于317Hz的频带内至少为19dB，采样频率为1,000Hz。32492.02100024002ctg2cTT6498.02100023172ctg2rTT32492.02/~ccTcT~26498.02/~sr0255842155.0~166563075.0~4127346.0~0255842155.0)~(23assssH11112/~zzTss131230.01594149(1)()11.97486114+1.556161230.45376813zHzzzz频率/Hz切比雪夫高通滤波器幅度/dB4.4.3带通变换如图1,如果数字频域上带通的中心频率为，则带通变换的目的是将:000000映射0jezjS1z11cos2)1(122zzzzzezezsojjoo模拟低通000映射（频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性）。即将S的原点映射到，而将点映射到，满足这一要求的双线性变换为：当时因此（带通变换关系）jjojjjojjeeeeeeescos211cos222jsjso又,sincoscossincoscosojze图中点正好映射在上，而映射在，两端，因此满足带通变换的要求。000带通变换的频率关系稳定性证明：同时，这一变换也满足稳定性要求，设由于上式完全是实数，所以是映射在S平面轴上。其中分子永远非负的，因此的正负决定于分母由此证明了，S左半平面映射在单位圆内，而右半平面映射在单位圆外，这种变换关系是稳定的变换关系，可用它来完成带通的变换，如图1。0rz11cos222rrrso1cos1211cos212222rrrrrroo0)cos1(212orr12r010,1时，时，rr设计：设计带通时，一般只给出上、下边带的截止频率作为设计要求。为了应用以上变换，首先要将上下边带参数换算成中心频率及模拟低通截止频率。为此将代入变换关系式：由于在模拟低通中是一对镜象频率，代入上面两等式，求出21,21,0cco,,21求21,111sincoscoso21,210cos2cos2cossinsinsincos212121210222sincoscoso例又同时也就是模拟低通的截止频率，有了这两个参数就可完成全部计算。：采样fs=400kHz，设计一巴特沃兹带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。解：确定数字频域的上下边带的角频率求中心频率：1c11sincoscosoc45.0/222sff55.0/211sff6.0/233sff55.0sin45.0sin55.045.0sincos05.00求模拟低通的通带截止频率与阻带边界频率：从频率增加了约1.05倍，衰减增加了（10-3）dB，故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标归一化的系统函数：代入，代入变换公式cs1584.055.0sin55.0cos5.0cosc3249.06.0sin6.0cos5.0cosssc到121)(2sssHac1/2/1)(2ccasssH1111cos222202zzzzzs221122222222242()()1(1)1(6.313)26.3131(1)1(1)49.781877.708031.9262zaszHzHszzzzzzz巴特沃兹带通滤波器406080100120140160-30-25-20-15-10-50510频频/kHz频频/dB频率/kHz幅度/